Номер 820, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 820, страница 226.

Условие.

820. Докажите, что:

а) $ \sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{4} $;

б) $ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1}{8} $.

821. Найдите:

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Преобразуем левую часть равенства. Домножим и разделим выражение на $2\cos 18^\circ$ (это возможно, так как $\cos 18^\circ \neq 0$):

$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $, заменим в числителе $2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ$ на $\sin(2 \cdot 18^\circ) = \sin 36^\circ$:

$\frac{\sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$

Снова применим формулу синуса двойного угла, домножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cdot 2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ}$

По формуле приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, получаем $\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$. Подставим в выражение:

$\frac{\cos 18^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{1}{4}$

Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. Домножим и разделим выражение на $2\sin 20^\circ$ (это возможно, так как $\sin 20^\circ \neq 0$):

$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$

Применим в числителе формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha $:

$\frac{\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$

Повторно применим эту формулу, домножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{2 \cdot 2\sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ}$

И еще раз применим ту же формулу, снова домножив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 4\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 20^\circ}$

По формуле приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$. Подставим в выражение:

$\frac{\sin 20^\circ}{8\sin 20^\circ} = \frac{1}{8}$

Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: доказано.