Номер 823, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 823, страница 226.

Условие.

823. Докажите, что для треугольника ABC со сторонами a, b, c верно равенство:

a) $ \frac{a+b}{c} = \frac{\cos \frac{A-B}{2}}{\sin \frac{C}{2}} $;

б) $ \frac{a-b}{c} = \frac{\sin \frac{A-B}{2}}{\cos \frac{C}{2}} $ (формулы немецкого математика К. Моллвейде (1774–1825)).

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для доказательства равенства $ \frac{a+b}{c} = \frac{\cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{C}{2}} $ воспользуемся теоремой синусов.

Согласно теореме синусов, для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $A, B, C$ верно соотношение $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k $, где $k$ – постоянная величина (равная диаметру описанной окружности). Отсюда выразим стороны через синусы углов: $ a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C $.

Преобразуем левую часть доказываемого равенства, подставив в нее полученные выражения:
$ \frac{a+b}{c} = \frac{k \sin A + k \sin B}{k \sin C} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin C} $.

Далее применим тригонометрические формулы преобразования:
1. Для числителя используем формулу суммы синусов: $ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $.
2. Для знаменателя используем формулу синуса двойного угла: $ \sin C = 2 \sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2} $.

После подстановки выражение примет вид:
$ \frac{2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}}{2 \sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}} = \frac{\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}} $.

Сумма углов в треугольнике равна $ \pi $, то есть $ A+B+C = \pi $. Отсюда следует, что $ A+B = \pi - C $, и, разделив на 2, получим $ \frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} $.
Применяя формулу приведения, находим: $ \sin\frac{A+B}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cos\frac{C}{2} $.

Подставим это в наше выражение:
$ \frac{\cos\frac{C}{2} \cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}} $.

Сократив общий множитель $ \cos\frac{C}{2} $ (что допустимо, так как для любого угла треугольника $C$ выполняется $ 0 < C < \pi $, а значит $ 0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2} $ и $ \cos\frac{C}{2} \neq 0 $), мы получаем правую часть исходного равенства:
$ \frac{\cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{C}{2}} $.
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \frac{a+b}{c} = \frac{\cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{C}{2}} $ доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \frac{a-b}{c} = \frac{\sin\frac{A-B}{2}}{\cos\frac{C}{2}} $ будем действовать аналогично предыдущему пункту.

Используя выражения для сторон из теоремы синусов ($ a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C $), преобразуем левую часть равенства:
$ \frac{a-b}{c} = \frac{k \sin A - k \sin B}{k \sin C} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin C} $.

Применим тригонометрические формулы:
1. Для числителя используем формулу разности синусов: $ \sin A - \sin B = 2 \sin\frac{A-B}{2} \cos\frac{A+B}{2} $.
2. Для знаменателя используем формулу синуса двойного угла: $ \sin C = 2 \sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2} $.

После подстановки получим:
$ \frac{2 \sin\frac{A-B}{2} \cos\frac{A+B}{2}}{2 \sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}} = \frac{\sin\frac{A-B}{2} \cos\frac{A+B}{2}}{\sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}} $.

Как и ранее, используем соотношение $ \frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} $.
Применим формулу приведения: $ \cos\frac{A+B}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \sin\frac{C}{2} $.

Подставим полученный результат в наше выражение:
$ \frac{\sin\frac{A-B}{2} \sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2} \cos\frac{C}{2}} $.

Сократив общий множитель $ \sin\frac{C}{2} $ (что допустимо, так как $ 0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2} $ и $ \sin\frac{C}{2} \neq 0 $), мы получаем правую часть исходного равенства:
$ \frac{\sin\frac{A-B}{2}}{\cos\frac{C}{2}} $.
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \frac{a-b}{c} = \frac{\sin\frac{A-B}{2}}{\cos\frac{C}{2}} $ доказано.