Номер 829, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 829, страница 227.

Условие.

829. Около окружности описана трапеция, продолжения боковых сторон которой пересекаются под углом $\alpha$. Найдите радиус этой окружности, если основания трапеции равны $a$ и $b$, причем $a > b$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность радиуса $r$. Основания трапеции $AD = a$ и $BC = b$, причем $a > b$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$ под углом $\angle AED = \alpha$.
Центр $O$ вписанной в трапецию окружности равноудален от всех ее сторон. Так как точка $O$ равноудалена от прямых $AE$ и $DE$, она лежит на биссектрисе угла $\angle AED$.
Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.
Рассмотрим треугольник $\triangle AED$. Так как центр вписанной в трапецию окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle E$, а также на средней линии трапеции (линии, равноудаленной от оснований $AD$ и $BC$), то для совмещения этих условий необходимо, чтобы биссектриса угла $\angle E$ была перпендикулярна основаниям трапеции. Это возможно только в том случае, если треугольник $\triangle AED$ является равнобедренным ($EA=ED$), а следовательно, и трапеция $ABCD$ является равнобедренной ($AB=CD$).
Пусть $EM$ — высота и биссектриса треугольника $\triangle AED$, где $M$ — точка на $AD$. Тогда $M$ — середина $AD$, и $\angle AEM = \alpha/2$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle AEM$ катет $AM$ равен половине основания $a$, то есть $AM = a/2$. Высота $EM$ связана с катетом $AM$ и углом $\angle AEM$ соотношением:
$\tan(\angle AEM) = \frac{AM}{EM}$
$\tan(\alpha/2) = \frac{a/2}{EM}$
Отсюда высота треугольника $\triangle AED$ равна $EM = \frac{a}{2 \tan(\alpha/2)}$.
Так как $BC \parallel AD$, треугольник $\triangle BEC$ подобен треугольнику $\triangle AED$. Высота $EN$ треугольника $\triangle BEC$ (где $N$ — точка на $BC$) является частью высоты $EM$. Аналогично для треугольника $\triangle BEN$:
$EN = \frac{b}{2 \tan(\alpha/2)}$
Высота трапеции $h$ равна разности высот $EM$ и $EN$:
$h = EM - EN = \frac{a}{2 \tan(\alpha/2)} - \frac{b}{2 \tan(\alpha/2)} = \frac{a-b}{2 \tan(\alpha/2)}$
Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a-b}{2 \tan(\alpha/2)} = \frac{a-b}{4 \tan(\alpha/2)}$
Ответ: $r = \frac{a-b}{4 \tan(\alpha/2)}$.