Найдите в интернете, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - страница 228.

Условие.

Найдите, пользуясь Интернетом:

а) теорему Птолемея, и установите ее связь с формулой суммы синусов двух углов;

б) сведения о том, какую тригонометрическую функцию называл «тенью» арабский ученый аль-Баттани (858–929) и с чем это связано.

Решение 2 (rus).

а) теорему Птолемея, и установите ее связь с формулой суммы синусов двух углов;

Теорема Птолемея гласит, что во всяком вписанном в окружность четырехугольнике произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противолежащих сторон. Если стороны четырехугольника $ABCD$ равны $AB=a, BC=b, CD=c, DA=d$, а диагонали равны $AC=d_1, BD=d_2$, то формула теоремы Птолемея имеет вид:

$d_1 \cdot d_2 = a \cdot c + b \cdot d$

Формула синуса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$ выглядит так:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

Чтобы установить связь между теоремой Птолемея и этой формулой, рассмотрим частный случай вписанного четырехугольника $ABCD$, у которого одна из диагоналей, например $AC$, является диаметром описанной окружности. Пусть радиус окружности равен $R$, тогда длина диагонали $AC = 2R$.

Пусть $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CAD = \beta$.

Поскольку диагональ $AC$ является диаметром, то углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$, опирающиеся на нее, являются прямыми ($\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$).

Из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ выразим длины его сторон через диаметр $AC$ и угол $\alpha$:

$AB = AC \cos\alpha = 2R \cos\alpha$

$BC = AC \sin\alpha = 2R \sin\alpha$

Аналогично, из прямоугольного треугольника $\triangle ADC$ выразим длины его сторон через диаметр $AC$ и угол $\beta$:

$CD = AC \sin\beta = 2R \sin\beta$

$AD = AC \cos\beta = 2R \cos\beta$

Теперь найдем длину второй диагонали $BD$. По следствию из теоремы синусов для треугольника $\triangle ABD$, вписанного в ту же окружность:

$BD = 2R \sin(\angle BAD) = 2R \sin(\alpha + \beta)$

Подставим все найденные выражения для сторон и диагоналей в формулу теоремы Птолемея $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$:

$(2R) \cdot (2R \sin(\alpha + \beta)) = (2R \cos\alpha) \cdot (2R \sin\beta) + (2R \sin\alpha) \cdot (2R \cos\beta)$

Разделим обе части равенства на $4R^2$ (поскольку $R \neq 0$):

$\sin(\alpha + \beta) = \cos\alpha \sin\beta + \sin\alpha \cos\beta$

Это и есть формула синуса суммы двух углов.

Таким образом, формула синуса суммы двух углов является прямым следствием теоремы Птолемея для частного случая вписанного четырехугольника, у которого одна из диагоналей является диаметром описанной окружности.

Ответ: Теорема Птолемея ($AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ для вписанного четырехугольника $ABCD$) может быть использована для вывода формулы синуса суммы углов $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, если рассмотреть четырехугольник, одна из диагоналей которого является диаметром описанной окружности.

б) сведения о том, какую тригонометрическую функцию называл «тенью» арабский ученый аль-Баттани (858–929) и с чем это связано.

Арабский ученый и астроном аль-Баттани в своих трудах ввел понятия, которые в современной математике соответствуют тригонометрическим функциям тангенса и котангенса. Он называл их «тенью» (по-арабски «ẓill»).

Это название напрямую связано с практическим применением тригонометрии в астрономии, в частности, для определения высоты Солнца над горизонтом с помощью гномона — простейшего астрономического инструмента, представляющего собой вертикальный стержень, установленный на горизонтальной плоскости.

Аль-Баттани рассматривал два вида «тени»:

1. «Горизонтальная тень» или «прямая тень» (umbra versa, ẓill mabsūṭ): это длина тени, отбрасываемой вертикальным гномоном на горизонтальную поверхность. Если высота гномона равна $h$, а угол высоты Солнца над горизонтом равен $\alpha$, то длина тени $L$ будет равна $L = h \cdot \cot(\alpha)$. Если принять высоту гномона за единицу ($h=1$), то длина тени будет численно равна котангенсу угла $\alpha$. Таким образом, «горизонтальная тень» — это, по сути, котангенс.

2. «Вертикальная тень» или «обратная тень» (umbra recta, ẓill mankūs): это длина тени, отбрасываемой горизонтальным гномоном на вертикальную стену. При высоте Солнца $\alpha$ и длине гномона $h$, длина тени $L$ на стене будет равна $L = h \cdot \tan(\alpha)$. При $h=1$ длина тени численно равна тангенсу угла $\alpha$. Таким образом, «вертикальная тень» — это тангенс.

Аль-Баттани был одним из первых, кто составил таблицы значений этих функций («таблицы теней»), которые, по сути, были первыми таблицами котангенсов и тангенсов, что стало важным шагом в развитии тригонометрии.

Ответ: Арабский ученый аль-Баттани называл «тенью» функции, которые мы сегодня знаем как тангенс и котангенс. Это связано с тем, что эти функции использовались для расчета длины тени, отбрасываемой гномоном (частью солнечных часов) в зависимости от угла высоты Солнца, что было необходимо для астрономических наблюдений и определения времени.