Номер 824, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 824, страница 226.

Условие.

824. Существует ли такой угол x, при котором:

а) $sin x \cdot cos x = \frac{2}{3};$

б) $sin \frac{x}{2} \cdot cos \frac{x}{2} = \frac{3}{7}?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для решения этой задачи воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$. Из этой формулы следует, что $sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = \frac{1}{2} sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к данному уравнению $sin(x) \cdot cos(x) = \frac{2}{3}$.

Получим:

$\frac{1}{2} sin(2x) = \frac{2}{3}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$sin(2x) = 2 \cdot \frac{2}{3}$

$sin(2x) = \frac{4}{3}$

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого угла $y$ должно выполняться неравенство $-1 \le sin(y) \le 1$.

В нашем случае мы получили $sin(2x) = \frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3} > 1$, это значение выходит за пределы области значений функции синус.

Следовательно, не существует такого угла $x$, при котором данное равенство было бы верным.

Ответ: не существует.

б) Аналогично пункту а), используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$, из которой $sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = \frac{1}{2} sin(2\alpha)$.

В данном случае у нас уравнение $sin(\frac{x}{2}) \cdot cos(\frac{x}{2}) = \frac{3}{7}$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.

Подставим это в наше уравнение:

$\frac{1}{2} sin(x) = \frac{3}{7}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$sin(x) = 2 \cdot \frac{3}{7}$

$sin(x) = \frac{6}{7}$

Теперь необходимо проверить, может ли синус угла быть равен $\frac{6}{7}$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$.

Проверим, принадлежит ли значение $\frac{6}{7}$ этому отрезку.

Так как $0 < \frac{6}{7} < 1$, то неравенство $-1 \le \frac{6}{7} \le 1$ является верным.

Это означает, что значение $\frac{6}{7}$ находится в области значений функции синус.

Следовательно, существует такой угол $x$, для которого $sin(x) = \frac{6}{7}$, а значит, и исходное равенство верно.

Ответ: существует.