Номер 822, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 822, страница 226.

Условие.

822. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен $R$, а один из его острых углов равен $\alpha$. Докажите, что радиус вписанной в этот треугольник окружности равен $\frac{R\sin 2\alpha}{1 + \sin \alpha + \cos \alpha}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По свойству прямоугольного треугольника, центр его описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы, откуда $c = 2R$.

Пусть один из острых углов треугольника равен $\alpha$. Тогда катеты можно выразить через $R$ и $\alpha$. Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a = c \sin \alpha = 2R \sin \alpha$. Прилежащий к углу $\alpha$ катет равен $b = c \cos \alpha = 2R \cos \alpha$.

Для радиуса $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности существует формула: $r = \frac{a+b-c}{2}$. Подставим в нее выражения для сторон $a$, $b$ и $c$:

$r = \frac{2R \sin \alpha + 2R \cos \alpha - 2R}{2} = R(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$.

Теперь докажем, что полученное выражение можно привести к виду, указанному в условии задачи. Для этого выполним тождественное преобразование, умножив и разделив полученное выражение на $(1 + \sin \alpha + \cos \alpha)$, которое не равно нулю, так как $\alpha$ — острый угол:

$r = R \cdot \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)(1 + \sin \alpha + \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha + \cos \alpha}$.

Рассмотрим числитель дроби. Это произведение представляет собой разность квадратов вида $(x-y)(x+y)$, где $x = (\sin \alpha + \cos \alpha)$ и $y = 1$. Преобразуем его:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1^2 = (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) - 1$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, упрощаем выражение:

$(1 + \sin 2\alpha) - 1 = \sin 2\alpha$.

Подставив полученный результат для числителя обратно в формулу для $r$, получаем итоговое выражение:

$r = \frac{R \sin 2\alpha}{1 + \sin \alpha + \cos \alpha}$.

Таким образом, равенство, которое требовалось доказать, установлено.

Ответ: Утверждение доказано.