Номер 816, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 816, страница 225.

Условие.

816. Найдите все значения x, при которых:

а) $2\cos 2x = 1$;

в) $\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$;

б) $\sqrt{2} \sin 2x = 1$;

г) $\mathrm{tg}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 0.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Решим уравнение $2\cos 2x = 1$.
Для начала разделим обе части уравнения на 2, чтобы изолировать тригонометрическую функцию:
$\cos 2x = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае, $t = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$.
Значение $\arccos(\frac{1}{2})$ равно $\frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части полученного выражения на 2:
$x = \frac{\pm \frac{\pi}{3}}{2} + \frac{2\pi k}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sqrt{2} \sin 2x = 1$.
Сначала разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:
$\sin 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Получаем уравнение $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение уравнения вида $\sin t = a$ дается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае, $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ равно $\frac{\pi}{4}$.
Подставляем в формулу:
$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{4}}{2} + \frac{\pi n}{2}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 0$.
Это частный случай решения уравнения $\cos t = 0$. Его решениями являются $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем уравнении аргумент косинуса $t = 2x + \frac{\pi}{3}$.
Приравниваем аргумент к общему решению:
$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:
$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$2x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi k$
$2x = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\text{tg}(2x - \frac{\pi}{6}) = 0$.
Это частный случай решения уравнения $\text{tg } t = 0$. Его решениями являются $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем уравнении аргумент тангенса $t = 2x - \frac{\pi}{6}$.
Приравниваем аргумент к общему решению:
$2x - \frac{\pi}{6} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$. Сначала перенесем $-\frac{\pi}{6}$ в правую часть:
$2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
(Область определения тангенса $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ соблюдается, так как наши решения $2x - \frac{\pi}{6} = \pi n$ не попадают в точки, где тангенс не определен).
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.