Номер 811, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 811, страница 224.

Условие.

811. Докажите тождество:

а)

$4\sin^2 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = \cos 2\alpha - \cos 6\alpha;$

б)

$8\sin^3 \alpha \cdot \cos \alpha = 2\sin 2\alpha - \sin 4\alpha;$

в)

$\frac{\sin^2 3\alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 \alpha} = 8\cos 2\alpha;$

г)

$\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \text{tg}\frac{\alpha}{2}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства тождества $4\sin^2{2\alpha} \cdot \cos 2\alpha = \cos 2\alpha - \cos 6\alpha$ преобразуем его правую часть. Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

$\cos 2\alpha - \cos 6\alpha = -2\sin\frac{2\alpha+6\alpha}{2}\sin\frac{2\alpha-6\alpha}{2} = -2\sin(4\alpha)\sin(-2\alpha)$.

Поскольку синус является нечетной функцией, $\sin(-2\alpha) = -\sin(2\alpha)$. Тогда выражение принимает вид:

$2\sin(4\alpha)\sin(2\alpha)$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ для члена $\sin(4\alpha)$:

$2 \cdot (2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)) \cdot \sin(2\alpha) = 4\sin^2(2\alpha)\cos(2\alpha)$.

Мы получили выражение, стоящее в левой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $4\sin^2{2\alpha} \cdot \cos 2\alpha = \cos 2\alpha - \cos 6\alpha$ доказано.

б) Для доказательства тождества $8\sin^3\alpha \cdot \cos \alpha = 2\sin 2\alpha - \sin 4\alpha$ преобразуем его левую часть.

$8\sin^3\alpha \cdot \cos \alpha = 4\sin^2\alpha \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)$.

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$4\sin^2\alpha \sin(2\alpha)$.

Теперь применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$4 \cdot \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} \cdot \sin(2\alpha) = 2(1-\cos(2\alpha))\sin(2\alpha) = 2\sin(2\alpha) - 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$.

Снова используем формулу синуса двойного угла для выражения $2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$, которое равно $\sin(4\alpha)$:

$2\sin(2\alpha) - \sin(4\alpha)$.

Мы получили выражение, стоящее в правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $8\sin^3\alpha \cdot \cos \alpha = 2\sin 2\alpha - \sin 4\alpha$ доказано.

в) Для доказательства тождества $\frac{\sin^2{3\alpha}}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2{3\alpha}}{\cos^2\alpha} = 8\cos 2\alpha$ преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin^2(3\alpha)\cos^2\alpha - \cos^2(3\alpha)\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$.

Числитель является разностью квадратов, которую можно разложить на множители:

$(\sin(3\alpha)\cos\alpha - \cos(3\alpha)\sin\alpha)(\sin(3\alpha)\cos\alpha + \cos(3\alpha)\sin\alpha)$.

Используя формулы синуса суммы и разности углов, получаем:

$\sin(3\alpha-\alpha)\sin(3\alpha+\alpha) = \sin(2\alpha)\sin(4\alpha)$.

Знаменатель преобразуем с помощью формулы синуса двойного угла $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$:

$\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4}$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)}{\frac{\sin^2(2\alpha)}{4}} = \frac{4\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} = \frac{4\sin(4\alpha)}{\sin(2\alpha)}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$:

$\frac{4 \cdot 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 8\cos(2\alpha)$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $\frac{\sin^2{3\alpha}}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2{3\alpha}}{\cos^2\alpha} = 8\cos 2\alpha$ доказано.

г) Для доказательства тождества $\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \text{tg}\frac{\alpha}{2}$ преобразуем его левую часть. Рассмотрим первую дробь:

$\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}$.

Используем формулы двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1+\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.

$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$.

Теперь левая часть тождества имеет вид:

$\text{tg}\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$.

Применим формулы половинного угла: $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$ и $1+\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

$\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \text{tg}\frac{\alpha}{2}$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} = \text{tg}\frac{\alpha}{2}$ доказано.