Номер 806, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 806, страница 224.

Условие.

806. Найдите:

a) $ \frac{\sin \alpha}{2 - 3 \cos \alpha} $, если $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} $;

б) $ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha} $, если $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{5} $;

в) $ \frac{\sin \left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right) - \sin \left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} $, если $ \sin \alpha + \cos \alpha = m $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для нахождения значения выражения воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, которые выражают синус и косинус через тангенс половинного угла. Пусть $t = \tan \frac{\alpha}{2}$.

Формулы имеют вид:

$\sin \alpha = \frac{2t}{1 + t^2}$

$\cos \alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$

По условию, $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}$, значит $t = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в формулы:

$\sin \alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$

$\cos \alpha = \frac{1 - (\frac{1}{2})^2}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5}$

Теперь подставим найденные значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ в исходное выражение:

$\frac{\sin \alpha}{2 - 3 \cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{2 - 3 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{2 - \frac{9}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{10 - 9}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}} = 4$

Ответ: 4.

б)

Сначала упростим данное выражение. Представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

$\frac{\tan \alpha + \sin \alpha}{\tan \alpha - \sin \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha}$

Вынесем $\sin \alpha$ за скобки в числителе и знаменателе (при $\sin \alpha \neq 0$):

$\frac{\sin \alpha (\frac{1}{\cos \alpha} + 1)}{\sin \alpha (\frac{1}{\cos \alpha} - 1)} = \frac{\frac{1 + \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}$

Воспользуемся формулами половинного угла: $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ и $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$.

Подставим их в наше выражение:

$\frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \cot^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$

По условию, $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{5}$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{1}{(\frac{2}{5})^2} = \frac{1}{\frac{4}{25}} = \frac{25}{4}$

Ответ: $\frac{25}{4}$.

в)

Упростим выражение, начав с числителя. Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$:

$\sin(2\alpha - \frac{\pi}{3}) - \sin(2\alpha + \frac{\pi}{3}) = 2 \sin \frac{(2\alpha - \frac{\pi}{3}) - (2\alpha + \frac{\pi}{3})}{2} \cos \frac{(2\alpha - \frac{\pi}{3}) + (2\alpha + \frac{\pi}{3})}{2}$

$= 2 \sin(\frac{-2\pi/3}{2}) \cos(\frac{4\alpha}{2}) = 2 \sin(-\frac{\pi}{3}) \cos(2\alpha)$

Так как $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, числитель равен:

$2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cos(2\alpha) = -\sqrt{3} \cos(2\alpha)$

Теперь упростим знаменатель, используя формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$:

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)$

Запишем всё выражение целиком:

$\frac{-\sqrt{3} \cos(2\alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{-2\sqrt{3} \cos(2\alpha)}{\sqrt{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)}$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$:

$\frac{-2\sqrt{3}(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sqrt{2}(\cos \alpha - \sin \alpha)}$

Сократим дробь на $(\cos \alpha - \sin \alpha)$, так как для области определения исходного выражения этот множитель не равен нулю:

$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha) = -\sqrt{2}\sqrt{3}(\cos \alpha + \sin \alpha) = -\sqrt{6}(\cos \alpha + \sin \alpha)$

По условию задачи, $\sin \alpha + \cos \alpha = m$. Подставим это значение в итоговое выражение:

$-\sqrt{6} m$

Ответ: $-\sqrt{6}m$.