Номер 808, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 808, страница 224.

Условие.

808. Верно ли равенство $4\sin 40^\circ \cdot \cos 10^\circ = 1 + 2\cos 40^\circ$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для проверки верности равенства $4\sin{40^\circ} \cdot \cos{10^\circ} = 1 + 2\cos{40^\circ}$ преобразуем его левую часть с помощью тригонометрических формул.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму:

$2\sin{\alpha}\cos{\beta} = \sin{(\alpha+\beta)} + \sin{(\alpha-\beta)}$

Представим левую часть исходного равенства как $2 \cdot (2\sin{40^\circ}\cos{10^\circ})$ и применим к выражению в скобках указанную формулу, где $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 10^\circ$:

$4\sin{40^\circ}\cos{10^\circ} = 2 \cdot (2\sin{40^\circ}\cos{10^\circ}) = 2(\sin{(40^\circ+10^\circ)} + \sin{(40^\circ-10^\circ)})$

Выполним действия в аргументах синусов:

$2(\sin{50^\circ} + \sin{30^\circ})$

Известно, что $\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$2(\sin{50^\circ} + \frac{1}{2}) = 2\sin{50^\circ} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2\sin{50^\circ} + 1$

Теперь исходное равенство можно переписать, подставив в него преобразованную левую часть:

$2\sin{50^\circ} + 1 = 1 + 2\cos{40^\circ}$

Вычтем 1 из обеих частей равенства:

$2\sin{50^\circ} = 2\cos{40^\circ}$

Разделим обе части на 2:

$\sin{50^\circ} = \cos{40^\circ}$

Чтобы проверить это последнее равенство, используем формулу приведения $\sin{\alpha} = \cos{(90^\circ - \alpha)}$.

Применим ее для угла $\alpha = 50^\circ$:

$\sin{50^\circ} = \cos{(90^\circ - 50^\circ)} = \cos{40^\circ}$

Мы получили тождество $\cos{40^\circ} = \cos{40^\circ}$, которое является верным. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное равенство верно.

Ответ: Да, равенство верно.