Номер 803, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 803, страница 223.

Условие.

803. Упростите выражение:

а) $\sin\frac{\alpha}{4} \cdot \cos\frac{\alpha}{4} \cdot \cos\frac{\alpha}{2}$;

б) $\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2}$;

в) $\cos^2\alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2\frac{\alpha}{2}$;

г) $1 - 8\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha$;

д) $(\cot\frac{\alpha}{2} - \tan\frac{\alpha}{2}) \cdot \sin\alpha$;

е) $(2\cot\frac{\alpha}{2} \cdot \sin^2\frac{\alpha}{2}) : (\sin^2\frac{\alpha}{2} - \cos^2\frac{\alpha}{2})$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $\sin\frac{\alpha}{4} \cdot \cos\frac{\alpha}{4} \cdot \cos\frac{\alpha}{2}$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Сначала преобразуем произведение $\sin\frac{\alpha}{4} \cdot \cos\frac{\alpha}{4}$:

$\sin\frac{\alpha}{4} \cdot \cos\frac{\alpha}{4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \cos\frac{\alpha}{2}$.

Снова применяем ту же формулу для угла $\frac{\alpha}{2}$:

$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2})) = \frac{1}{4}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{4}\sin\alpha$.

б) $\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2}$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2} = (\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2})(\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2})$.

Применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Первая скобка: $\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos\alpha$.

Вторая скобка: $\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2} = 1$.

В результате получаем:

$\cos\alpha \cdot 1 = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

в) $\cos^2\alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2\frac{\alpha}{2}$

Преобразуем вторую часть выражения:

$4\sin^2\frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2\frac{\alpha}{2} = (2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})^2$.

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$:

$(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})^2 = (\sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}))^2 = (\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$.

Подставляем обратно в исходное выражение:

$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Это формула косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Ответ: $\cos(2\alpha)$.

г) $1 - 8\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha$

Преобразуем вторую часть выражения:

$8\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = 2 \cdot (4\sin^2\alpha \cos^2\alpha) = 2 \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)^2$.

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$:

$2 \cdot (\sin(2\alpha))^2 = 2\sin^2(2\alpha)$.

Подставляем обратно в исходное выражение:

$1 - 2\sin^2(2\alpha)$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$. В нашем случае $x = 2\alpha$.

$1 - 2\sin^2(2\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.

Ответ: $\cos(4\alpha)$.

д) $(\text{ctg}\frac{\alpha}{2} - \text{tg}\frac{\alpha}{2}) \cdot \sin\alpha$

Сначала упростим выражение в скобках. Представим котангенс и тангенс через синус и косинус:

$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} - \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$.

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$.

Числитель - это формула косинуса двойного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos\alpha$.

Знаменатель - это половина синуса двойного угла: $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Выражение в скобках равно: $\frac{\cos\alpha}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Теперь умножим это на $\sin\alpha$:

$\frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha = 2\cos\alpha$.

Ответ: $2\cos\alpha$.

е) $(2\text{ctg}\frac{\alpha}{2} \cdot \sin^2\frac{\alpha}{2}) : (\sin^2\frac{\alpha}{2} - \cos^2\frac{\alpha}{2})$

Упростим делимое: $2\text{ctg}\frac{\alpha}{2} \cdot \sin^2\frac{\alpha}{2}$.

$2 \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} \cdot \sin^2\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}$.

Это формула синуса двойного угла: $2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} = \sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \sin\alpha$.

Теперь упростим делитель: $\sin^2\frac{\alpha}{2} - \cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Вынесем минус за скобки: $-(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2})$.

В скобках формула косинуса двойного угла: $\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos\alpha$.

Значит, делитель равен $-\cos\alpha$.

Теперь выполним деление:

$\sin\alpha : (-\cos\alpha) = \frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -\text{tg}\alpha$.

Ответ: $-\text{tg}\alpha$.