Номер 807, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 807, страница 224.

Условие.

807. Верно ли неравенство:

a) $ \sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ} > 1; $

б) $ \cos 15^{\circ} - \cos 45^{\circ} < 0? $

Решение.

Решение 2 (rus).

a) $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ > 1$
Для проверки этого неравенства воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
Применим эту формулу к левой части неравенства, где $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 15^\circ$:
$\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ$.
Теперь подставим табличные значения для $\sin 45^\circ$ и $\cos 30^\circ$:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Таким образом, исходное неравенство эквивалентно неравенству $\frac{\sqrt{6}}{2} > 1$.
Чтобы проверить его, умножим обе части на 2: $\sqrt{6} > 2$.
Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{6})^2 > 2^2$, что дает $6 > 4$.
Это верное числовое неравенство, следовательно, исходное неравенство также является верным.
Ответ: да, верно.

б) $\cos 15^\circ - \cos 45^\circ < 0$
Данное неравенство можно переписать в виде $\cos 15^\circ < \cos 45^\circ$.
Рассмотрим свойства функции $y = \cos x$. На промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$ функция косинуса является убывающей. Это значит, что для двух углов $\alpha$ и $\beta$ из этого промежутка, если $\alpha < \beta$, то $\cos \alpha > \cos \beta$.
В нашем случае углы $15^\circ$ и $45^\circ$ оба находятся в первой четверти, то есть в промежутке убывания косинуса. Так как $15^\circ < 45^\circ$, то из свойства убывающей функции следует, что $\cos 15^\circ > \cos 45^\circ$.
Это противоречит неравенству $\cos 15^\circ < \cos 45^\circ$. Следовательно, исходное неравенство неверно.
Для проверки можно также выполнить вычисления:
$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4}$.
Тогда разность равна: $\cos 15^\circ - \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$ и $\sqrt{2} \approx 1.41$, то $\sqrt{6} > \sqrt{2}$, и, следовательно, разность $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ положительна. Значит, $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} > 0$.
Получили, что $\cos 15^\circ - \cos 45^\circ > 0$, что опровергает исходное неравенство.
Ответ: нет, неверно.