Номер 809, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 809, страница 224.

Условие.

809. Докажите тождество $ \text{tg}(\alpha + \frac{\pi}{4}) + \text{tg}(\alpha - \frac{\pi}{4}) = 2\text{tg } 2\alpha. $

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами тангенса суммы и разности:

$\operatorname{tg}(A+B) = \frac{\operatorname{tg}A + \operatorname{tg}B}{1 - \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B}$

$\operatorname{tg}(A-B) = \frac{\operatorname{tg}A - \operatorname{tg}B}{1 + \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B}$

В нашем случае $A = \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4}$. Нам известно, что $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Применим формулы к каждому слагаемому в левой части тождества:

$\operatorname{tg}(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{tg}\alpha + 1}{1 - \operatorname{tg}\alpha}$

$\operatorname{tg}(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}{1 + \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{tg}\alpha - 1}{1 + \operatorname{tg}\alpha}$

Теперь сложим полученные выражения:

$\operatorname{tg}(\alpha + \frac{\pi}{4}) + \operatorname{tg}(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - 1}{1 + \operatorname{tg}\alpha}$

Чтобы упростить сложение, вынесем минус за скобки во второй дроби: $\operatorname{tg}\alpha - 1 = -(1 - \operatorname{tg}\alpha)$.

$\frac{1 + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha} - \frac{1 - \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \operatorname{tg}\alpha)(1 + \operatorname{tg}\alpha)$:

$\frac{(1 + \operatorname{tg}\alpha)^2 - (1 - \operatorname{tg}\alpha)^2}{(1 - \operatorname{tg}\alpha)(1 + \operatorname{tg}\alpha)}$

В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 1 + \operatorname{tg}\alpha$ и $b = 1 - \operatorname{tg}\alpha$. В знаменателе также применим эту формулу.

Числитель: $((1 + \operatorname{tg}\alpha) - (1 - \operatorname{tg}\alpha))((1 + \operatorname{tg}\alpha) + (1 - \operatorname{tg}\alpha)) = (1 + \operatorname{tg}\alpha - 1 + \operatorname{tg}\alpha)(1 + \operatorname{tg}\alpha + 1 - \operatorname{tg}\alpha) = (2\operatorname{tg}\alpha)(2) = 4\operatorname{tg}\alpha$.

Знаменатель: $1^2 - \operatorname{tg}^2\alpha = 1 - \operatorname{tg}^2\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна:

$\frac{4\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$

Теперь рассмотрим правую часть тождества: $2\operatorname{tg}2\alpha$. Используем формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$:

$2\operatorname{tg}(2\alpha) = 2 \cdot \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{4\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.