Номер 802, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 802, страница 223.

Условие.

802. Упростите выражение:

а) $2\sin 24^\circ \cdot \sin 66^\circ$;

б) $\sin 15^\circ \cdot \sin 75^\circ$;

в) $\sin^2 18^\circ - \sin^2 72^\circ$;

г) $(1 - \operatorname{tg}^2 20^\circ) : \operatorname{tg} 20^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $2\sin 24^\circ \cdot \sin 66^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.
Заменим $\sin 66^\circ$ на $\sin(90^\circ - 24^\circ) = \cos 24^\circ$.
Получаем: $2\sin 24^\circ \cdot \sin 66^\circ = 2\sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ$.
Это выражение соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Применим эту формулу для $\alpha = 24^\circ$: $2\sin 24^\circ \cos 24^\circ = \sin(2 \cdot 24^\circ) = \sin 48^\circ$.
Ответ: $\sin 48^\circ$.

б) Для упрощения выражения $\sin 15^\circ \cdot \sin 75^\circ$ используем формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.
Заменим $\sin 75^\circ$ на $\sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ$.
Выражение принимает вид: $\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
При $\alpha = 15^\circ$: $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin 30^\circ$.
Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) Упростим выражение $\sin^2 18^\circ - \sin^2 72^\circ$.
Применим формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ для $\sin 72^\circ$.
$\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$.
Тогда $\sin^2 72^\circ = \cos^2 18^\circ$.
Подставим это в исходное выражение: $\sin^2 18^\circ - \cos^2 18^\circ$.
Вынесем минус за скобки: $-(\cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ)$.
Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
При $\alpha = 18^\circ$ получаем: $-(\cos(2 \cdot 18^\circ)) = -\cos 36^\circ$.
Ответ: $-\cos 36^\circ$.

г) Рассмотрим выражение $(1 - \operatorname{tg}^2 20^\circ) : \operatorname{tg} 20^\circ$, которое можно записать в виде дроби $\frac{1 - \operatorname{tg}^2 20^\circ}{\operatorname{tg} 20^\circ}$.
Это выражение связано с формулой тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.
Заметим, что $\frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = 2 \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{2\operatorname{tg}\alpha} = 2 \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}(2\alpha)} = 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$.
Применим эту зависимость для $\alpha = 20^\circ$:
$\frac{1 - \operatorname{tg}^2 20^\circ}{\operatorname{tg} 20^\circ} = 2\operatorname{ctg}(2 \cdot 20^\circ) = 2\operatorname{ctg} 40^\circ$.
Ответ: $2\operatorname{ctg} 40^\circ$.