Номер 795, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 795, страница 222.

Условие.

795. Используя формулы приведения, упростите выражение:

a) $\sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$;

б) $\text{tg}(\pi + \alpha) + \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha)$;

в) $\cos(\alpha - \pi) - \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})$;

г) $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $sin(\pi - \alpha) + cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Для упрощения данного выражения применим формулы приведения к каждому слагаемому по отдельности.

Первое слагаемое: $sin(\pi - \alpha)$. Угол $(\pi - \alpha)$ соответствует точке на единичной окружности во второй четверти (если считать $\alpha$ острым углом). Во второй четверти синус имеет положительный знак. Поскольку в формуле участвует $\pi$, название функции (синус) не меняется. Таким образом, получаем: $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.

Второе слагаемое: $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ соответствует точке в первой четверти, где косинус положителен. Поскольку в формуле участвует $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию, то есть косинус на синус. Таким образом: $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

Теперь сложим полученные результаты: $sin(\alpha) + sin(\alpha) = 2sin(\alpha)$.

Ответ: $2\sin(\alpha)$

б) $tg(\pi + \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

Упростим каждое слагаемое, используя формулы приведения.

Первое слагаемое: $tg(\pi + \alpha)$. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти. В этой четверти тангенс положителен. Так как опорный угол равен $\pi$, название функции не изменяется. Следовательно, $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

Второе слагаемое: $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во второй четверти. В этой четверти котангенс отрицателен. Так как опорный угол равен $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию, то есть котангенс на тангенс. Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$.

Складываем преобразованные слагаемые: $tg(\alpha) + (-tg(\alpha)) = tg(\alpha) - tg(\alpha) = 0$.

Ответ: $0$

в) $cos(\alpha - \pi) - sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})$

Преобразуем аргументы тригонометрических функций, чтобы применить формулы приведения.

Первый член: $cos(\alpha - \pi)$. Воспользуемся свойством четности косинуса: $cos(x) = cos(-x)$. Тогда $cos(\alpha - \pi) = cos(-(\pi - \alpha)) = cos(\pi - \alpha)$. Теперь применяем формулу приведения. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Название функции не меняется. Получаем: $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.

Второй член: $sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})$. Воспользуемся свойством нечетности синуса: $sin(x) = -sin(-x)$. Тогда $sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -sin(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$. Применим формулу приведения к $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Название функции меняется на кофункцию. Значит, $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -cos(\alpha)$. Подставляя обратно, получаем: $-sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -(-cos(\alpha)) = cos(\alpha)$.

Теперь выполним вычитание: $-cos(\alpha) - cos(\alpha) = -2cos(\alpha)$.

Ответ: $-2\cos(\alpha)$

г) $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cdot cos(\pi + \alpha)$

Упростим каждый множитель в произведении с помощью формул приведения.

Первый множитель: $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Так как опорный угол $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (косинус). Следовательно, $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$.

Второй множитель: $cos(\pi + \alpha)$. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Так как опорный угол $\pi$, функция не меняется. Следовательно, $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$.

Перемножим полученные выражения: $(-cos(\alpha)) \cdot (-cos(\alpha)) = cos^2(\alpha)$.

Ответ: $\cos^2(\alpha)$