Номер 790, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 790, страница 222.
№790 (с. 222)
Условие. №790 (с. 222)
скриншот условия

790. Докажите тождество:
а) $\frac{\sin x + \cos(-x)}{1 - \operatorname{tg}(-x)} = \cos x$;
б) $\frac{\cos x - \sin(-x)}{1 - \operatorname{ctg}(-x)} = \sin x.$
Решение. №790 (с. 222)

Решение 2 (rus). №790 (с. 222)
а)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: косинус – четная функция, то есть $ \cos(-x) = \cos x $, а тангенс – нечетная функция, то есть $ \text{tg}(-x) = -\text{tg} x $.
Подставим эти соотношения в левую часть исходного выражения:
$ \frac{\sin x + \cos(-x)}{1 - \text{tg}(-x)} = \frac{\sin x + \cos x}{1 - (-\text{tg} x)} = \frac{\sin x + \cos x}{1 + \text{tg} x} $
Теперь выразим тангенс через синус и косинус, используя определение $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $:
$ \frac{\sin x + \cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} $
Приведем знаменатель дроби к общему знаменателю:
$ 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} $
Подставим полученное выражение обратно в основную дробь:
$ \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ (\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} $
Сократим одинаковые множители $ (\sin x + \cos x) $ в числителе и знаменателе, при условии, что $ \sin x + \cos x \ne 0 $:
$ \cos x $
Мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.
б)
Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Используем свойства нечетности синуса и котангенса: $ \sin(-x) = -\sin x $ и $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg} x $.
Подставим эти соотношения в левую часть выражения:
$ \frac{\cos x - \sin(-x)}{1 - \text{ctg}(-x)} = \frac{\cos x - (-\sin x)}{1 - (-\text{ctg} x)} = \frac{\cos x + \sin x}{1 + \text{ctg} x} $
Теперь выразим котангенс через косинус и синус по определению $ \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $:
$ \frac{\cos x + \sin x}{1 + \frac{\cos x}{\sin x}} $
Приведем знаменатель дроби к общему знаменателю:
$ 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} $
Подставим полученное выражение обратно в основную дробь:
$ \frac{\cos x + \sin x}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}} $
Разделим числитель на знаменатель, умножив на обратную дробь:
$ (\cos x + \sin x) \cdot \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} $
Сократим одинаковые множители $ (\cos x + \sin x) $, при условии, что $ \sin x + \cos x \ne 0 $:
$ \sin x $
Мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 790 расположенного на странице 222 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №790 (с. 222), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.