Номер 790, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.

Тип: Учебник

Издательство: Кокшетау

Год издания: 2019 - 2025

Цвет обложки:

ISBN: 978-601-317-424-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан

Популярные ГДЗ в 9 классе

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 790, страница 222.

№790 (с. 222)
Условие. №790 (с. 222)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 222, номер 790, Условие

790. Докажите тождество:

а) $\frac{\sin x + \cos(-x)}{1 - \operatorname{tg}(-x)} = \cos x$;

б) $\frac{\cos x - \sin(-x)}{1 - \operatorname{ctg}(-x)} = \sin x.$

Решение. №790 (с. 222)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Солтан Генадий Николаевич, Солтан Алла Евгеньевна, Жумадилова Аманбала Жумадиловна, издательство Кокшетау, Алматы, 2019, страница 222, номер 790, Решение
Решение 2 (rus). №790 (с. 222)

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: косинус – четная функция, то есть $ \cos(-x) = \cos x $, а тангенс – нечетная функция, то есть $ \text{tg}(-x) = -\text{tg} x $.

Подставим эти соотношения в левую часть исходного выражения:

$ \frac{\sin x + \cos(-x)}{1 - \text{tg}(-x)} = \frac{\sin x + \cos x}{1 - (-\text{tg} x)} = \frac{\sin x + \cos x}{1 + \text{tg} x} $

Теперь выразим тангенс через синус и косинус, используя определение $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ \frac{\sin x + \cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} $

Приведем знаменатель дроби к общему знаменателю:

$ 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} $

Подставим полученное выражение обратно в основную дробь:

$ \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ (\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x + \cos x) $ в числителе и знаменателе, при условии, что $ \sin x + \cos x \ne 0 $:

$ \cos x $

Мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Используем свойства нечетности синуса и котангенса: $ \sin(-x) = -\sin x $ и $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg} x $.

Подставим эти соотношения в левую часть выражения:

$ \frac{\cos x - \sin(-x)}{1 - \text{ctg}(-x)} = \frac{\cos x - (-\sin x)}{1 - (-\text{ctg} x)} = \frac{\cos x + \sin x}{1 + \text{ctg} x} $

Теперь выразим котангенс через косинус и синус по определению $ \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $:

$ \frac{\cos x + \sin x}{1 + \frac{\cos x}{\sin x}} $

Приведем знаменатель дроби к общему знаменателю:

$ 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} $

Подставим полученное выражение обратно в основную дробь:

$ \frac{\cos x + \sin x}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}} $

Разделим числитель на знаменатель, умножив на обратную дробь:

$ (\cos x + \sin x) \cdot \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} $

Сократим одинаковые множители $ (\cos x + \sin x) $, при условии, что $ \sin x + \cos x \ne 0 $:

$ \sin x $

Мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 790 расположенного на странице 222 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №790 (с. 222), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.