Номер 790, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 790, страница 222.

Условие.

790. Докажите тождество:

а) $\frac{\sin x + \cos(-x)}{1 - \operatorname{tg}(-x)} = \cos x$;

б) $\frac{\cos x - \sin(-x)}{1 - \operatorname{ctg}(-x)} = \sin x.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: косинус – четная функция, то есть $ \cos(-x) = \cos x $, а тангенс – нечетная функция, то есть $ \text{tg}(-x) = -\text{tg} x $.

Подставим эти соотношения в левую часть исходного выражения:

$ \frac{\sin x + \cos(-x)}{1 - \text{tg}(-x)} = \frac{\sin x + \cos x}{1 - (-\text{tg} x)} = \frac{\sin x + \cos x}{1 + \text{tg} x} $

Теперь выразим тангенс через синус и косинус, используя определение $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ \frac{\sin x + \cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} $

Приведем знаменатель дроби к общему знаменателю:

$ 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x} $

Подставим полученное выражение обратно в основную дробь:

$ \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ (\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} $

Сократим одинаковые множители $ (\sin x + \cos x) $ в числителе и знаменателе, при условии, что $ \sin x + \cos x \ne 0 $:

$ \cos x $

Мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Используем свойства нечетности синуса и котангенса: $ \sin(-x) = -\sin x $ и $ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg} x $.

Подставим эти соотношения в левую часть выражения:

$ \frac{\cos x - \sin(-x)}{1 - \text{ctg}(-x)} = \frac{\cos x - (-\sin x)}{1 - (-\text{ctg} x)} = \frac{\cos x + \sin x}{1 + \text{ctg} x} $

Теперь выразим котангенс через косинус и синус по определению $ \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $:

$ \frac{\cos x + \sin x}{1 + \frac{\cos x}{\sin x}} $

Приведем знаменатель дроби к общему знаменателю:

$ 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} $

Подставим полученное выражение обратно в основную дробь:

$ \frac{\cos x + \sin x}{\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}} $

Разделим числитель на знаменатель, умножив на обратную дробь:

$ (\cos x + \sin x) \cdot \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} $

Сократим одинаковые множители $ (\cos x + \sin x) $, при условии, что $ \sin x + \cos x \ne 0 $:

$ \sin x $

Мы получили правую часть тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.