Номер 787, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 787, страница 221.

Условие.

787. Сравните с нулем значение выражения:

а)

$(tg 30^\circ - sin 60^\circ)(sin 135^\circ - tg 135^\circ);$

б)

$(cos 30^\circ - tg 60^\circ)(tg 150^\circ - sin 150^\circ).$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы сравнить значение выражения $(\tg 30^\circ - \sin 60^\circ)(\sin 135^\circ - \tg 135^\circ)$ с нулем, определим знак каждого множителя.

Рассмотрим первый множитель: $(\tg 30^\circ - \sin 60^\circ)$.Найдем значения тригонометрических функций: $\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Сравним дроби $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$. У них одинаковые положительные числители, поэтому больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $2 < 3$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{3}}{3}$.Следовательно, разность $\tg 30^\circ - \sin 60^\circ$ отрицательна (меньше нуля).

Рассмотрим второй множитель: $(\sin 135^\circ - \tg 135^\circ)$.Угол $135^\circ$ находится во второй четверти. Найдем значения функций, используя формулы приведения:$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это положительное число.$\tg 135^\circ = \tg(180^\circ - 45^\circ) = -\tg 45^\circ = -1$. Это отрицательное число.Тогда разность $\sin 135^\circ - \tg 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$. Сумма двух положительных чисел есть число положительное.Следовательно, второй множитель положителен (больше нуля).

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом.Таким образом, $(\tg 30^\circ - \sin 60^\circ)(\sin 135^\circ - \tg 135^\circ) < 0$.Ответ: значение выражения меньше нуля.

б) Чтобы сравнить значение выражения $(\cos 30^\circ - \tg 60^\circ)(\tg 150^\circ - \sin 150^\circ)$ с нулем, определим знак каждого множителя.

Рассмотрим первый множитель: $(\cos 30^\circ - \tg 60^\circ)$.Найдем значения тригонометрических функций: $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$.Сравним $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sqrt{3}$. Очевидно, что $\frac{\sqrt{3}}{2} < \sqrt{3}$, так как $\frac{1}{2} < 1$.Следовательно, разность $\cos 30^\circ - \tg 60^\circ$ отрицательна (меньше нуля).

Рассмотрим второй множитель: $(\tg 150^\circ - \sin 150^\circ)$.Угол $150^\circ$ находится во второй четверти. Найдем значения функций, используя формулы приведения:$\tg 150^\circ = \tg(180^\circ - 30^\circ) = -\tg 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это отрицательное число.$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Это положительное число.Тогда разность $\tg 150^\circ - \sin 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2}$. Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное.Следовательно, второй множитель отрицателен (меньше нуля).

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.Таким образом, $(\cos 30^\circ - \tg 60^\circ)(\tg 150^\circ - \sin 150^\circ) > 0$.Ответ: значение выражения больше нуля.