Номер 786, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 786, страница 221.

Условие.

786. Найдите значение выражения $\frac{\sin x + 6\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\sin x + 2\sqrt{1 - \cos^2 x}}$ при:

а) $x = 3$ рад;

б) $x = 4$ рад.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для начала упростим данное выражение. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы можем преобразовать подкоренное выражение: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. Следовательно, $\sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$. Важно помнить, что корень из квадрата выражения равен его модулю. Таким образом, исходное выражение принимает вид: $$ \frac{\sin x + 6|\sin x|}{\sin x + 2|\sin x|} $$ Теперь найдем значение этого выражения для каждого из заданных значений $x$.

а) при $x = 3$ рад.
Определим знак $\sin x$ при $x=3$. Значение числа $\pi$ примерно равно 3,14159. Так как $0 < 3 < \pi$, угол $x = 3$ радиана находится во второй координатной четверти. Синус во второй четверти положителен, поэтому $\sin 3 > 0$. В этом случае $|\sin 3| = \sin 3$. Подставим это значение в упрощенное выражение: $$ \frac{\sin 3 + 6(\sin 3)}{\sin 3 + 2(\sin 3)} = \frac{7\sin 3}{3\sin 3} $$ Поскольку $\sin 3 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin 3$: $$ \frac{7}{3} $$ Ответ: $\frac{7}{3}$.

б) при $x = 4$ рад.
Определим знак $\sin x$ при $x=4$. Так как $\pi \approx 3.14159$ и $2\pi \approx 6.28318$, то выполняется неравенство $\pi < 4 < 2\pi$. Это означает, что угол $x = 4$ радиана находится в третьей координатной четверти. Синус в третьей четверти отрицателен, поэтому $\sin 4 < 0$. В этом случае $|\sin 4| = -\sin 4$. Подставим это значение в упрощенное выражение: $$ \frac{\sin 4 + 6(-\sin 4)}{\sin 4 + 2(-\sin 4)} = \frac{\sin 4 - 6\sin 4}{\sin 4 - 2\sin 4} = \frac{-5\sin 4}{-\sin 4} $$ Поскольку $\sin 4 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $-\sin 4$: $$ \frac{-5}{-1} = 5 $$ Ответ: 5.