Номер 783, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 783, страница 220.

Условие.

783. Известно, что $3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = m$. Укажите допустимые значения $m$ и найдите произведение $\sin\left(\frac{4\pi}{3} + \alpha\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Укажите допустимые значения m

Нам дано уравнение $3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = m$.
Для нахождения допустимых значений $m$ преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Представим $3\sin^2\alpha$ как $ \sin^2\alpha + 2\sin^2\alpha$:
$m = \sin^2\alpha + 2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha$
Сгруппируем слагаемые:
$m = \sin^2\alpha + 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$
Заменим $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ на 1:
$m = \sin^2\alpha + 2(1)$
$m = 2 + \sin^2\alpha$
Теперь найдем область значений для $m$. Мы знаем, что для любого угла $\alpha$ значение синуса находится в пределах $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
Следовательно, значение квадрата синуса находится в пределах $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.
Подставим эти граничные значения в выражение для $m$:
Минимальное значение $m$ достигается при $\sin^2\alpha = 0$:
$m_{min} = 2 + 0 = 2$
Максимальное значение $m$ достигается при $\sin^2\alpha = 1$:
$m_{max} = 2 + 1 = 3$
Таким образом, допустимые значения $m$ лежат в отрезке $[2, 3]$.
Ответ: $m \in [2, 3]$.

Найдите произведение $\sin(\frac{4\pi}{3} + \alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$

Обозначим искомое произведение как $P$.
$P = \sin(\frac{4\pi}{3} + \alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$
Преобразуем первый множитель, используя формулу приведения. Заметим, что $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$.
$\sin(\frac{4\pi}{3} + \alpha) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin(\pi + (\frac{\pi}{3} + \alpha))$
По формуле приведения $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$, получаем:
$\sin(\pi + (\frac{\pi}{3} + \alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha)$
Теперь произведение $P$ принимает вид:
$P = -\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$
Воспользуемся формулой произведения синусов $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2A - \sin^2B$. В нашем случае $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \alpha$.
$P = -(\sin^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2\alpha)$
Вычислим $\sin^2(\frac{\pi}{3})$:
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
Подставим это значение в выражение для $P$ и раскроем скобки:
$P = -(\frac{3}{4} - \sin^2\alpha) = \sin^2\alpha - \frac{3}{4}$
Из первой части решения мы знаем, что $m = 2 + \sin^2\alpha$. Выразим отсюда $\sin^2\alpha$:
$\sin^2\alpha = m - 2$
Подставим это выражение в формулу для $P$:
$P = (m-2) - \frac{3}{4} = m - \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = m - \frac{11}{4}$
Ответ: $m - \frac{11}{4}$.