Занимательные задачи 3, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - страница 220.

Условие.

3) Вычислите без использования таблиц значение выражения

$ \operatorname{tg} 9^\circ - \operatorname{tg} 27^\circ - \operatorname{tg} 63^\circ + \operatorname{tg} 81^\circ $

Решение.

Решение 2 (rus).

1) В представленной числовой последовательности 1; 2; 3; 7; 46 необходимо найти свойство, которому удовлетворяют все члены, кроме двух. Обозначим члены последовательности как $a_1=1, a_2=2, a_3=3, a_4=7, a_5=46$.

Искомое свойство — это рекуррентное соотношение, которое связывает каждый член, начиная с третьего, с двумя предыдущими. Это свойство можно сформулировать так: каждый член последовательности, начиная с третьего, равен квадрату предыдущего члена минус предпредыдущий член.

В виде формулы это свойство записывается следующим образом:

$a_n = a_{n-1}^2 - a_{n-2}$

Проверим выполнение этого свойства для членов последовательности:

• Для члена $a_3 = 3$: подставляем предыдущие члены $a_2=2$ и $a_1=1$. Получаем $a_3 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Свойство выполняется.
• Для члена $a_4 = 7$: подставляем предыдущие члены $a_3=3$ и $a_2=2$. Получаем $a_4 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$. Свойство выполняется.
• Для члена $a_5 = 46$: подставляем предыдущие члены $a_4=7$ и $a_3=3$. Получаем $a_5 = 7^2 - 3 = 49 - 3 = 46$. Свойство выполняется.

Таким образом, члены последовательности 3, 7 и 46 обладают указанным свойством. Первые два члена, 1 и 2, являются исключениями, так как для них данное правило неприменимо (оно требует наличия двух предыдущих членов).

Ответ: Члены, обладающие общим свойством, — это 3, 7 и 46. Их свойство заключается в том, что каждый из этих членов равен квадрату предыдущего члена последовательности минус предпредыдущий член, что выражается формулой $a_n = a_{n-1}^2 - a_{n-2}$.