Занимательные задачи 1, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - страница 220.

Условие.

1) Упростите выражение

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \cos \frac{\alpha}{2}\right)}}$, где $\alpha$ – острый угол.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи используется принцип Дирихле, который заключается в рассмотрении наихудшего из возможных сценариев. Нам нужно определить, какое минимальное количество шаров нужно вытащить, чтобы гарантированно иметь среди них не менее 10 шаров одного цвета.

Для начала определим количество шаров каждого цвета в коробке:
- Красные: 20 штук.
- Голубые: 20 штук.
- Желтые: 20 штук.
- Белые и зеленые (вместе): $70 - (20 + 20 + 20) = 10$ штук.

Таким образом, в коробке находятся шары 5-ти цветов. Важно отметить, что общее количество белых и зеленых шаров равно 10. Это значит, что количество шаров каждого из этих двух цветов (белого и зеленого) строго меньше 10. Следовательно, мы никогда не сможем вытащить 10 белых или 10 зеленых шаров.

Наихудший сценарий — это когда мы вытаскиваем шары таким образом, чтобы как можно дольше не выполнять условие (не получать 10 шаров одного цвета). В этом случае мы будем последовательно вытаскивать:
1. Все шары тех цветов, которых в коробке заведомо меньше 10. Это белые и зеленые шары. Вытаскиваем все 10 шаров.
2. Максимальное количество шаров (но меньше 10) для каждого из оставшихся цветов. Для красного, голубого и желтого это будет по 9 шаров.
Вытаскиваем $9$ красных, $9$ голубых и $9$ желтых шаров.

Подсчитаем общее количество шаров, вытащенных в этом наихудшем сценарии:
$9 \text{ (красных)} + 9 \text{ (голубых)} + 9 \text{ (желтых)} + 10 \text{ (все белые и зеленые)} = 37$ шаров.
После того как мы вытащили 37 шаров, у нас на руках все еще нет 10 шаров одного цвета.

Теперь мы вытаскиваем следующий, 38-й шар. Поскольку все белые и зеленые шары уже вытащены, этот шар может быть только красным, голубым или желтым.
- Если 38-й шар окажется красным, то у нас будет $9 + 1 = 10$ красных шаров.
- Если он будет голубым, то у нас будет $9 + 1 = 10$ голубых шаров.
- Если он будет желтым, то у нас будет $9 + 1 = 10$ желтых шаров.
В любом из этих случаев условие "не менее 10 шаров одного цвета" будет выполнено. Таким образом, необходимо вытащить 38 шаров, чтобы гарантированно достичь цели.

Ответ: 38 шаров.