Номер 782, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 782, страница 219.

Условие.

782.
Докажите тождество $4\sin^3\alpha \cdot \cos 3\alpha + 4\cos^3\alpha \cdot \sin 3\alpha = 3\sin 4\alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса тройного угла.

Формулы тройного угла выглядят следующим образом:

$\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$

Из этих формул выразим выражения $4\sin^3\alpha$ и $4\cos^3\alpha$, которые присутствуют в левой части доказываемого тождества:

$4\sin^3\alpha = 3\sin\alpha - \sin(3\alpha)$

$4\cos^3\alpha = 3\cos\alpha + \cos(3\alpha)$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства $4\sin^3\alpha \cdot \cos(3\alpha) + 4\cos^3\alpha \cdot \sin(3\alpha)$:

$(3\sin\alpha - \sin(3\alpha)) \cdot \cos(3\alpha) + (3\cos\alpha + \cos(3\alpha)) \cdot \sin(3\alpha)$

Раскроем скобки в полученном выражении:

$3\sin\alpha\cos(3\alpha) - \sin(3\alpha)\cos(3\alpha) + 3\cos\alpha\sin(3\alpha) + \cos(3\alpha)\sin(3\alpha)$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-\sin(3\alpha)\cos(3\alpha)$ и $+\cos(3\alpha)\sin(3\alpha)$ взаимно уничтожаются:

$3\sin\alpha\cos(3\alpha) + 3\cos\alpha\sin(3\alpha)$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(\sin\alpha\cos(3\alpha) + \cos\alpha\sin(3\alpha))$

Выражение в скобках представляет собой формулу синуса суммы двух углов, которая имеет вид $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. В нашем случае $x = \alpha$ и $y = 3\alpha$. Применим эту формулу:

$\sin\alpha\cos(3\alpha) + \cos\alpha\sin(3\alpha) = \sin(\alpha + 3\alpha) = \sin(4\alpha)$

Подставим результат обратно в наше выражение:

$3 \cdot \sin(4\alpha) = 3\sin(4\alpha)$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности равное правой части: $3\sin(4\alpha) = 3\sin(4\alpha)$. Это доказывает, что исходное равенство является тождеством.

Ответ: тождество $4\sin^3\alpha \cdot \cos 3\alpha + 4\cos^3\alpha \cdot \sin 3\alpha = 3\sin 4\alpha$ доказано.