Номер 782, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 782, страница 219.
№782 (с. 219)
Условие. №782 (с. 219)
скриншот условия

Докажите тождество $4\sin^3\alpha \cdot \cos 3\alpha + 4\cos^3\alpha \cdot \sin 3\alpha = 3\sin 4\alpha$.
Решение. №782 (с. 219)

Решение 2 (rus). №782 (с. 219)
Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса тройного угла.
Формулы тройного угла выглядят следующим образом:
$\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$
$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$
Из этих формул выразим выражения $4\sin^3\alpha$ и $4\cos^3\alpha$, которые присутствуют в левой части доказываемого тождества:
$4\sin^3\alpha = 3\sin\alpha - \sin(3\alpha)$
$4\cos^3\alpha = 3\cos\alpha + \cos(3\alpha)$
Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства $4\sin^3\alpha \cdot \cos(3\alpha) + 4\cos^3\alpha \cdot \sin(3\alpha)$:
$(3\sin\alpha - \sin(3\alpha)) \cdot \cos(3\alpha) + (3\cos\alpha + \cos(3\alpha)) \cdot \sin(3\alpha)$
Раскроем скобки в полученном выражении:
$3\sin\alpha\cos(3\alpha) - \sin(3\alpha)\cos(3\alpha) + 3\cos\alpha\sin(3\alpha) + \cos(3\alpha)\sin(3\alpha)$
Приведем подобные слагаемые. Члены $-\sin(3\alpha)\cos(3\alpha)$ и $+\cos(3\alpha)\sin(3\alpha)$ взаимно уничтожаются:
$3\sin\alpha\cos(3\alpha) + 3\cos\alpha\sin(3\alpha)$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(\sin\alpha\cos(3\alpha) + \cos\alpha\sin(3\alpha))$
Выражение в скобках представляет собой формулу синуса суммы двух углов, которая имеет вид $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. В нашем случае $x = \alpha$ и $y = 3\alpha$. Применим эту формулу:
$\sin\alpha\cos(3\alpha) + \cos\alpha\sin(3\alpha) = \sin(\alpha + 3\alpha) = \sin(4\alpha)$
Подставим результат обратно в наше выражение:
$3 \cdot \sin(4\alpha) = 3\sin(4\alpha)$
Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности равное правой части: $3\sin(4\alpha) = 3\sin(4\alpha)$. Это доказывает, что исходное равенство является тождеством.
Ответ: тождество $4\sin^3\alpha \cdot \cos 3\alpha + 4\cos^3\alpha \cdot \sin 3\alpha = 3\sin 4\alpha$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 782 расположенного на странице 219 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №782 (с. 219), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.