Занимательные задачи 2, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - страница 220.

Условие.

2) Существует ли значение x, при котором верно равенство $ \sin x \cdot \cos x = \sqrt{0,4\sqrt{0,4}} $?

Решение.

Решение 2 (rus).

4) Обозначим искомые четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ — натуральное число. По условию задачи, их произведение равно 3024. Запишем это в виде уравнения:

$n(n+1)(n+2)(n+3) = 3024$

Для начала, можно оценить примерное значение $n$. Произведение четырех близких чисел примерно равно четвертой степени их среднего значения. То есть, $n^4$ должно быть близко к 3024. Мы знаем, что $7^4 = 2401$, а $8^4 = 4096$. Это означает, что искомые числа находятся в диапазоне, где среднее значение близко к 7-8. Попробуем проверить последовательность, начинающуюся с $n=6$:

$6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 42 \cdot 72 = 3024$

Эта последовательность чисел подходит. Теперь докажем, что это единственное решение в натуральных числах, используя строгий алгебраический метод.

Преобразуем исходное уравнение. Сгруппируем множители так, чтобы получить одинаковые выражения:

$(n(n+3)) \cdot ((n+1)(n+2)) = 3024$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = 3024$

Введем замену переменной. Пусть $x = n^2 + 3n$. Уравнение примет вид:

$x(x+2) = 3024$

Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + 2x - 3024 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3024) = 4 + 12096 = 12100 = 110^2$

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 110}{2} = \frac{108}{2} = 54$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 110}{2} = \frac{-112}{2} = -56$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $x$, чтобы найти $n$.

Случай 1: $x = 54$.

Подставляем значение в $n^2 + 3n = x$:

$n^2 + 3n = 54$

$n^2 + 3n - 54 = 0$

Решим это квадратное уравнение для $n$. Дискриминант $D_n = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$n_2 = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку по условию задачи мы ищем натуральные числа ($n \in \mathbb{N}$), корень $n = -9$ не подходит. Следовательно, единственное решение в этом случае — $n=6$. Это и есть найденная нами ранее последовательность: 6, 7, 8, 9.

Случай 2: $x = -56$.

Подставляем значение в $n^2 + 3n = x$:

$n^2 + 3n = -56$

$n^2 + 3n + 56 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D_n = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 9 - 224 = -215$.

Поскольку дискриминант $D_n < 0$, это уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, не имеет и натуральных.

Таким образом, мы доказали, что существует только один набор из четырех последовательных натуральных чисел, произведение которых равно 3024.

Ответ: 6, 7, 8, 9.