Номер 779, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 779, страница 219.

Условие.

779. Исследуйте, при каком $x \in [0; 2\pi]$ принимает наибольшее значение выражение $ \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right). $

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы найти, при каком значении $x$ выражение принимает наибольшее значение, мы можем упростить его с помощью тригонометрических формул. Обозначим данное выражение как $y(x)$:

$y(x) = \cos(\frac{\pi}{3} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x)$

Воспользуемся формулой произведения косинусов:$\cos\alpha \cdot \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$

В нашем случае пусть $\alpha = \frac{\pi}{3} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{6} - x$. Найдем сумму и разность этих углов:

Сумма углов:$\alpha + \beta = (\frac{\pi}{3} + x) + (\frac{\pi}{6} - x) = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

Разность углов:$\alpha - \beta = (\frac{\pi}{3} + x) - (\frac{\pi}{6} - x) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2x = \frac{2\pi - \pi}{6} + 2x = \frac{\pi}{6} + 2x$

Теперь подставим полученные значения в формулу произведения косинусов:$y(x) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} + 2x\right)\right)$

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, выражение значительно упрощается:$y(x) = \frac{1}{2}\left(0 + \cos\left(\frac{\pi}{6} + 2x\right)\right) = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{6} + 2x\right)$

Наибольшее значение функции косинус равно 1. Следовательно, наибольшее значение выражения $y(x)$ равно $\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Это значение достигается, когда аргумент функции косинус равен $2k\pi$, где $k$ — любое целое число:$\frac{\pi}{6} + 2x = 2k\pi$

Решим это уравнение относительно $x$:$2x = 2k\pi - \frac{\pi}{6}$$x = k\pi - \frac{\pi}{12}$

Теперь нам нужно найти все значения $x$, которые принадлежат заданному отрезку $[0; 2\pi]$. Для этого решим двойное неравенство:$0 \le k\pi - \frac{\pi}{12} \le 2\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:$0 \le k - \frac{1}{12} \le 2$

Прибавим $\frac{1}{12}$ ко всем частям неравенства:$\frac{1}{12} \le k \le 2 + \frac{1}{12}$$\frac{1}{12} \le k \le \frac{25}{12}$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, из этого промежутка подходят значения $k=1$ и $k=2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

1. При $k=1$:$x = 1 \cdot \pi - \frac{\pi}{12} = \pi - \frac{\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$

2. При $k=2$:$x = 2 \cdot \pi - \frac{\pi}{12} = 2\pi - \frac{\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$

Оба найденных значения $x$ принадлежат отрезку $[0; 2\pi]$.

Ответ: выражение принимает наибольшее значение при $x = \frac{11\pi}{12}$ и $x = \frac{23\pi}{12}$.