Номер 784, страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 784, страница 220.

Условие.

784. Найдите все значения x, удовлетворяющие условию:

a) $2\sin 2x \cdot \sin 3x + \cos 5x = 0$, если $x \in [0; 2\pi];$

б) $2\sin 4x \cdot \sin 2x - \cos 2x = 0$, если $x \in [0; \frac{\pi}{2}];$

в) $\cos 5x \cdot \cos 7x = \cos^2 6x$, если $x \in [\frac{\pi}{2}; \pi];$

г) $\sin x \cdot \sin 11x = \sin 3x \cdot \sin 9x$, если $x \in [0; \frac{\pi}{2}].$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное уравнение: $2\sin 2x \cdot \sin 3x + \cos 5x = 0$.
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.
Применительно к нашему случаю, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$, получаем:
$2\sin 3x \sin 2x = \cos(3x - 2x) - \cos(3x + 2x) = \cos x - \cos 5x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\cos x - \cos 5x) + \cos 5x = 0$.
После упрощения получаем:
$\cos x = 0$.
Общее решение этого тригонометрического уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Теперь необходимо выбрать те значения $x$, которые принадлежат заданному отрезку $[0; 2\pi]$.
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в отрезок.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$. Это значение входит в отрезок.
При $n=2$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Это значение больше $2\pi$ и не входит в отрезок.
Отрицательные значения $n$ дадут отрицательные $x$, которые также не входят в отрезок.
Таким образом, на отрезке $[0; 2\pi]$ есть два решения.
Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{2}, x_2 = \frac{3\pi}{2}$.

б) Исходное уравнение: $2\sin 4x \cdot \sin 2x - \cos 2x = 0$.
Используем ту же формулу преобразования произведения синусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.
Здесь $\alpha = 4x$ и $\beta = 2x$.
$2\sin 4x \sin 2x = \cos(4x - 2x) - \cos(4x + 2x) = \cos 2x - \cos 6x$.
Подставляем в уравнение:
$(\cos 2x - \cos 6x) - \cos 2x = 0$.
Упрощаем:
$-\cos 6x = 0$, или $\cos 6x = 0$.
Общее решение: $6x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$.
Выберем решения, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
$0 \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6} \le \frac{\pi}{2}$.
Разделим неравенство на $\pi$: $0 \le \frac{1}{12} + \frac{n}{6} \le \frac{1}{2}$.
Умножим на 12: $0 \le 1 + 2n \le 6$.
Вычтем 1: $-1 \le 2n \le 5$.
Разделим на 2: $-0.5 \le n \le 2.5$.
Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $0, 1, 2$.
При $n=0$: $x = \frac{\pi}{12}$.
При $n=1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.
При $n=2$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}$.
Все три значения лежат в заданном отрезке.
Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{12}, x_2 = \frac{\pi}{4}, x_3 = \frac{5\pi}{12}$.

в) Исходное уравнение: $\cos 5x \cdot \cos 7x = \cos^2 6x$.
Для левой части применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$.
$\cos 7x \cos 5x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 5x) + \cos(7x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 12x)$.
Для правой части используем формулу понижения степени: $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$.
$\cos^2 6x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 6x)}{2} = \frac{1 + \cos 12x}{2}$.
Приравниваем преобразованные части уравнения:
$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 12x) = \frac{1 + \cos 12x}{2}$.
Умножаем обе части на 2:
$\cos 2x + \cos 12x = 1 + \cos 12x$.
Вычитаем $\cos 12x$ из обеих частей:
$\cos 2x = 1$.
Общее решение: $2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi n$.
Найдем решение, принадлежащее отрезку $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.
$\frac{\pi}{2} \le \pi n \le \pi$.
Разделим на $\pi$: $0.5 \le n \le 1$.
Единственное целое значение $n$ в этом интервале — это $n=1$.
При $n=1$: $x = \pi$.
Ответ: $x = \pi$.

г) Исходное уравнение: $\sin x \cdot \sin 11x = \sin 3x \cdot \sin 9x$.
Применим к обеим частям уравнения формулу преобразования произведения синусов: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
Левая часть: $\sin 11x \sin x = \frac{1}{2}(\cos(11x-x) - \cos(11x+x)) = \frac{1}{2}(\cos 10x - \cos 12x)$.
Правая часть: $\sin 9x \sin 3x = \frac{1}{2}(\cos(9x-3x) - \cos(9x+3x)) = \frac{1}{2}(\cos 6x - \cos 12x)$.
Приравниваем выражения:
$\frac{1}{2}(\cos 10x - \cos 12x) = \frac{1}{2}(\cos 6x - \cos 12x)$.
$\cos 10x - \cos 12x = \cos 6x - \cos 12x$.
$\cos 10x = \cos 6x$.
Перенесем все в одну сторону: $\cos 10x - \cos 6x = 0$.
Используем формулу разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$-2\sin\frac{10x+6x}{2}\sin\frac{10x-6x}{2} = 0$.
$-2\sin 8x \sin 2x = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $\sin 8x = 0 \implies 8x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{8}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Вторая серия решений является частным случаем первой (при $n=4m$), поэтому достаточно рассмотреть только $x = \frac{\pi n}{8}$.
Найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
$0 \le \frac{\pi n}{8} \le \frac{\pi}{2}$.
$0 \le \frac{n}{8} \le \frac{1}{2}$.
$0 \le n \le 4$.
Целые значения $n$: $0, 1, 2, 3, 4$.
При $n=0$: $x=0$.
При $n=1$: $x=\frac{\pi}{8}$.
При $n=2$: $x=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$.
При $n=3$: $x=\frac{3\pi}{8}$.
При $n=4$: $x=\frac{4\pi}{8}=\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{\pi}{8}, x_3 = \frac{\pi}{4}, x_4 = \frac{3\pi}{8}, x_5 = \frac{\pi}{2}$.