Номер 791, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 791, страница 222.

Условие.

791. Какое число является периодом всех тригонометрических функций: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \operatorname{tg} x$, $y = \operatorname{ctg} x$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы найти число, которое является периодом для всех четырех основных тригонометрических функций, необходимо рассмотреть периоды каждой из них. Периодом функции $f(x)$ называется такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Наименьший положительный период называется основным.

1. Основной период для функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ равен $2\pi$. Это означает, что $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$ и $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$ для любого целого $k$.

2. Основной период для функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$ равен $\pi$. Это означает, что $\operatorname{tg}(x + \pi n) = \operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg}(x + \pi n) = \operatorname{ctg} x$ для любого целого $n$.

Мы ищем общий период $T$, то есть число, которое является периодом для каждой из четырех функций. Такой период должен одновременно быть периодом для $\sin x$ и $\cos x$, а также для $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$.

Из этого следует, что $T$ должно быть представимо в виде $2\pi k$ и одновременно в виде $\pi n$ для некоторых целых $k$ и $n$ (не равных нулю).

Наименьшим положительным общим периодом будет наименьшее общее кратное (НОК) основных периодов $2\pi$ и $\pi$.
$НОК(2\pi, \pi) = 2\pi$.

Проверим, что $T = 2\pi$ действительно является общим периодом:
- Для синуса: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.
- Для косинуса: $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
- Для тангенса: $\operatorname{tg}(x + 2\pi) = \operatorname{tg}(x + 2 \cdot \pi) = \operatorname{tg}(x)$, так как $\pi$ является периодом тангенса.
- Для котангенса: $\operatorname{ctg}(x + 2\pi) = \operatorname{ctg}(x + 2 \cdot \pi) = \operatorname{ctg}(x)$, так как $\pi$ является периодом котангенса.

Следовательно, число $2\pi$ является периодом для всех указанных тригонометрических функций.
Ответ: $2\pi$