Номер 792, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 792, страница 222.

Условие.

792. Известно, что $\sin \alpha = a$, $\cos \alpha = b$. Выразите через $a$ и $b$:

a) $\sin(\alpha + 2\pi) + \cos(2\pi - \alpha)$;

б) $\cos(\alpha + 4\pi) + \sin(4\pi - \alpha)$;

в) $\operatorname{tg}(\pi + \alpha) + \operatorname{tg}(\alpha - \pi)$;

г) $\operatorname{ctg}(2\pi - \alpha) + \operatorname{ctg}(-\pi - \alpha)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $sin(\alpha + 2\pi) + cos(2\pi - \alpha)$
Используем формулы приведения и свойства периодичности тригонометрических функций. Период функции синус равен $2\pi$, поэтому $sin(\alpha + 2\pi) = sin(\alpha)$.
Функция косинус является четной, и ее период также равен $2\pi$, поэтому $cos(2\pi - \alpha) = cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
Таким образом, исходное выражение упрощается до $sin(\alpha) + cos(\alpha)$.
Подставляя известные значения $sin(\alpha) = a$ и $cos(\alpha) = b$, получаем $a + b$.
Ответ: $a + b$

б) $cos(\alpha + 4\pi) + sin(4\pi - \alpha)$
Применяем свойство периодичности тригонометрических функций. Период синуса и косинуса равен $2\pi$.
Для косинуса: $cos(\alpha + 4\pi) = cos(\alpha + 2 \cdot 2\pi) = cos(\alpha)$.
Для синуса: $sin(4\pi - \alpha) = sin(-\alpha + 2 \cdot 2\pi) = sin(-\alpha)$.
Так как синус — нечетная функция, $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
Выражение принимает вид $cos(\alpha) - sin(\alpha)$.
Подставляя $sin(\alpha) = a$ и $cos(\alpha) = b$, получаем $b - a$.
Ответ: $b - a$

в) $tg(\pi + \alpha) + tg(\alpha - \pi)$
Используем свойства тангенса. Период тангенса равен $\pi$.
$tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.
Также, используя периодичность, $tg(\alpha - \pi) = tg(\alpha + (-1)\pi) = tg(\alpha)$.
Следовательно, выражение равно $tg(\alpha) + tg(\alpha) = 2tg(\alpha)$.
По определению тангенса $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{a}{b}$.
Итоговое выражение равно $2 \cdot \frac{a}{b} = \frac{2a}{b}$.
Ответ: $\frac{2a}{b}$

г) $ctg(2\pi - \alpha) + ctg(-\pi - \alpha)$
Используем свойства котангенса. Период котангенса равен $\pi$.
$ctg(2\pi - \alpha) = ctg(2\pi + (-\alpha)) = ctg(-\alpha)$. Так как котангенс — нечетная функция, $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.
Для второго слагаемого: $ctg(-\pi - \alpha) = ctg(-(\pi + \alpha))$. Так как котангенс — нечетная функция, $ctg(-(\pi + \alpha)) = -ctg(\pi + \alpha)$. Используя периодичность, $ctg(\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$. Таким образом, $ctg(-\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$.
Суммируя, получаем: $-ctg(\alpha) + (-ctg(\alpha)) = -2ctg(\alpha)$.
По определению котангенса $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac{b}{a}$.
Итоговое выражение равно $-2 \cdot \frac{b}{a} = -\frac{2b}{a}$.
Ответ: $-\frac{2b}{a}$