Номер 799, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 799, страница 223.

Условие.

799. Найдите tg $ \alpha $, если tg($ \frac{\pi}{4} + \alpha $) = -2.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи мы воспользуемся тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов:

$\tg(A + B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \cdot \tg B}$

В нашем случае $A = \frac{\pi}{4}$ и $B = \alpha$. Подставив эти значения в формулу, получим:

$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\alpha}{1 - \tg\frac{\pi}{4} \cdot \tg\alpha}$

Известно, что $\tg\frac{\pi}{4} = 1$. Заменим $\tg\frac{\pi}{4}$ на 1 в нашем выражении:

$\frac{1 + \tg\alpha}{1 - 1 \cdot \tg\alpha} = \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$

Согласно условию задачи, $\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = -2$. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$\frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha} = -2$

Теперь решим это уравнение относительно $\tg\alpha$. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $(1 - \tg\alpha)$, предполагая, что $1 - \tg\alpha \neq 0$ (что верно, так как иначе исходное выражение было бы не определено):

$1 + \tg\alpha = -2(1 - \tg\alpha)$

Раскроем скобки в правой части:

$1 + \tg\alpha = -2 + 2\tg\alpha$

Перенесем все слагаемые, содержащие $\tg\alpha$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$1 + 2 = 2\tg\alpha - \tg\alpha$

Выполним вычисления:

$3 = \tg\alpha$

Таким образом, мы нашли искомое значение.

Ответ: 3