Номер 804, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 804, страница 223.

Условие.

804. Докажите, что для прямоугольного треугольника с острыми углами $\alpha$ и $\beta$ верно равенство $\frac{\cos 2\beta - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ являются острыми углами прямоугольного треугольника, их сумма равна $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Отсюда следует, что $\alpha + \beta = 90^\circ$, и мы можем выразить один угол через другой, например, $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Мы должны доказать тождество $\frac{\cos 2\beta - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \tg \alpha - \tg \beta$.

Преобразуем левую часть равенства, используя установленную связь между углами. Подставим $\beta = 90^\circ - \alpha$ в выражение:

$\frac{\cos(2(90^\circ - \alpha)) - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\cos(180^\circ - 2\alpha) - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$

Применяя формулу приведения $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$, получаем:

$\frac{-\cos 2\alpha - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{-2\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$

Теперь воспользуемся формулами двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ и $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\frac{-2(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{-(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Разделим полученную дробь на две, почленно разделив числитель на знаменатель:

$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

После сокращения дробей получаем:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

По определению, $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$ и $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha$. Таким образом, левая часть равна:

$\tg\alpha - \cot\alpha$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства. Вспомним, что $\beta = 90^\circ - \alpha$. Используем формулу приведения для тангенса $\tg(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha$.

Правая часть: $\tg\alpha - \tg\beta = \tg\alpha - \tg(90^\circ - \alpha) = \tg\alpha - \cot\alpha$.

Мы видим, что левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $\tg\alpha - \cot\alpha$. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Тождество доказано.