Номер 810, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 810, страница 224.

Условие.

810. Представьте в виде произведения:

а) $ \sin x + \cos x $

б) $ \sin x - \cos x $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для преобразования суммы $\sin x + \cos x$ в произведение воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Для выражения вида $a \sin x + b \cos x$ выносится за скобки множитель $R = \sqrt{a^2+b^2}$.
В данном случае $a=1$ и $b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:
$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right)$.
Поскольку $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем переписать выражение в скобках:
$\sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right)$.
Это выражение соответствует формуле синуса суммы: $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
Применив эту формулу, где $\alpha=x$ и $\beta=\frac{\pi}{4}$, получаем:
$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.
Таким образом, мы представили сумму в виде произведения.
Ответ: $\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

б) Аналогично преобразуем выражение $\sin x - \cos x$.
Здесь $a=1$ и $b=-1$. Множитель $R$ будет таким же: $R = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$.
Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:
$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right)$.
Используем те же значения $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$\sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right)$.
Это выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
Применив эту формулу, где $\alpha=x$ и $\beta=\frac{\pi}{4}$, получаем:
$\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Таким образом, мы представили разность в виде произведения.
Ответ: $\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.