Номер 817, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 817, страница 225.

Условие.

817. Является ли тождеством равенство $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3(\sin \alpha \cos \alpha)^2 = 1$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы проверить, является ли равенство $ \sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3(\sin\alpha \cos\alpha)^2 = 1 $ тождеством, мы преобразуем его левую часть и сравним с правой.

Для преобразования воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Возведем обе части этого тождества в третью степень (в куб). Для левой части применим формулу куба суммы: $ (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) $.

Пусть $ a = \sin^2\alpha $ и $ b = \cos^2\alpha $. Тогда:

$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^3 = 1^3 $

Раскрывая скобки по формуле, получаем:

$ (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 + 3(\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1 $

Упростим выражение. Так как $ (\sin^2\alpha)^3 = \sin^6\alpha $, $ (\cos^2\alpha)^3 = \cos^6\alpha $ и $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, подставим эти значения в уравнение:

$ \sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3(\sin^2\alpha \cos^2\alpha)(1) = 1 $

$ \sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha = 1 $

Выражение $ 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha $ можно переписать как $ 3(\sin\alpha \cos\alpha)^2 $. Подставив это в наше уравнение, мы получим левую часть исходного равенства:

$ \sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3(\sin\alpha \cos\alpha)^2 = 1 $

Мы показали, что левая часть равенства тождественно равна 1 при любых допустимых значениях $ \alpha $. Следовательно, исходное равенство является тождеством.

Ответ: да, является.