Номер 801, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 801, страница 223.

Условие.

801. Найдите:

a) $sin \alpha$ и $tg 2\alpha$, если $ctg \alpha = \sqrt{3}$, $\alpha$ – угол I четверти;

б) $tg \alpha$ и $cos 2\alpha$, если $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\alpha$ – угол III четверти;

в) $ctg \alpha$ и $sin 2\alpha$, если $cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\alpha$ – угол IV четверти;

г) $cos \alpha$ и $cos 2\alpha$, если $tg \alpha = -2$, $\alpha$ – угол IV четверти.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано: $ \operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{3} $, $ \alpha $ - угол I четверти.
1. Найдем $ \sin \alpha $ из тригонометрического тождества $ 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.
Подставим известное значение котангенса:
$ 1 + (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $
$ 1 + 3 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $
$ 4 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $
$ \sin^2 \alpha = \frac{1}{4} $
Поскольку угол $ \alpha $ находится в I четверти, значение синуса положительно: $ \sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $.
2. Найдем $ \operatorname{tg} 2\alpha $. Сначала найдем $ \operatorname{tg} \alpha $:
$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Теперь используем формулу тангенса двойного угла $ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $:
$ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $, $ \operatorname{tg} 2\alpha = \sqrt{3} $.

б) Дано: $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \alpha $ - угол III четверти.
1. Найдем $ \operatorname{tg} \alpha $. Для этого сначала определим $ \cos \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится в III четверти, значение косинуса отрицательно: $ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2} $.
Теперь можем найти тангенс:
$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3} $.
2. Найдем $ \cos 2\alpha $. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $:
$ \cos 2\alpha = (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3} $, $ \cos 2\alpha = -\frac{1}{2} $.

в) Дано: $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $, $ \alpha $ - угол IV четверти.
1. Найдем $ \operatorname{ctg} \alpha $. Сначала определим $ \sin \alpha $ из тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится в IV четверти, значение синуса отрицательно: $ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Теперь можем найти котангенс:
$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
2. Найдем $ \sin 2\alpha $. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \sin 2\alpha = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

г) Дано: $ \operatorname{tg} \alpha = -2 $, $ \alpha $ - угол IV четверти.
1. Найдем $ \cos \alpha $ из тождества $ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $:
$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (-2)^2} = \frac{1}{1+4} = \frac{1}{5} $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится в IV четверти, значение косинуса положительно: $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $.
2. Найдем $ \cos 2\alpha $. Используем формулу $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $:
$ \cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5} $.
Ответ: $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \cos 2\alpha = -\frac{3}{5} $.