Номер 794, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 794, страница 222.

Условие.

794. Докажите, что число T является периодом функции:

а) $y = \sin 2x, T = -5\pi;$

в) $y = \sin 3x, T = 4\pi;$

б) $y = \cos \frac{x}{3}, T = -12\pi;$

г) $y = \cos 4x, T = -\frac{7\pi}{2}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Для доказательства для каждой из предложенных функций необходимо подставить в неё $x+T$ и показать, что значение функции не изменится. Область определения всех заданных функций — множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

а) $y = \sin 2x, T = -5\pi$

Проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.
$y(x+T) = y(x - 5\pi) = \sin(2(x - 5\pi)) = \sin(2x - 10\pi)$.
Функция синус периодична с основным периодом $2\pi$, что означает $\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha)$ для любого целого числа $n$.
В нашем случае $\sin(2x - 10\pi) = \sin(2x + 2\pi \cdot (-5))$. Так как $n = -5$ является целым числом, то равенство $\sin(2x - 10\pi) = \sin(2x)$ верно.
Таким образом, $y(x+T) = y(x)$.
Ответ: Доказано, что $T = -5\pi$ является периодом функции $y = \sin 2x$.

б) $y = \cos \frac{x}{3}, T = -12\pi$

Проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.
$y(x+T) = y(x - 12\pi) = \cos\left(\frac{x - 12\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{3} - \frac{12\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{3} - 4\pi\right)$.
Функция косинус периодична с основным периодом $2\pi$, что означает $\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)$ для любого целого числа $n$.
В нашем случае $\cos\left(\frac{x}{3} - 4\pi\right) = \cos\left(\frac{x}{3} + 2\pi \cdot (-2)\right)$. Так как $n = -2$ является целым числом, то равенство $\cos\left(\frac{x}{3} - 4\pi\right) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)$ верно.
Таким образом, $y(x+T) = y(x)$.
Ответ: Доказано, что $T = -12\pi$ является периодом функции $y = \cos \frac{x}{3}$.

в) $y = \sin 3x, T = 4\pi$

Проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.
$y(x+T) = y(x + 4\pi) = \sin(3(x + 4\pi)) = \sin(3x + 12\pi)$.
Используя периодичность функции синус, $\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin(\alpha)$, где $n$ - целое число.
В нашем случае $\sin(3x + 12\pi) = \sin(3x + 2\pi \cdot 6)$. Так как $n = 6$ является целым числом, то равенство $\sin(3x + 12\pi) = \sin(3x)$ верно.
Таким образом, $y(x+T) = y(x)$.
Ответ: Доказано, что $T = 4\pi$ является периодом функции $y = \sin 3x$.

г) $y = \cos 4x, T = -\frac{7\pi}{2}$

Проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.
$y(x+T) = y\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(4\left(x - \frac{7\pi}{2}\right)\right) = \cos\left(4x - \frac{28\pi}{2}\right) = \cos(4x - 14\pi)$.
Используя периодичность функции косинус, $\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)$, где $n$ - целое число.
В нашем случае $\cos(4x - 14\pi) = \cos(4x + 2\pi \cdot (-7))$. Так как $n = -7$ является целым числом, то равенство $\cos(4x - 14\pi) = \cos(4x)$ верно.
Таким образом, $y(x+T) = y(x)$.
Ответ: Доказано, что $T = -\frac{7\pi}{2}$ является периодом функции $y = \cos 4x$.