Номер 828, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 828, страница 227.

Условие.

828. Упростите выражение:

a) $ \frac{\sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2}} $;

б) $ \sqrt{0.5 - 0.5\sqrt{0.5 + 0.5\cos \alpha}} $, если $ 0 < \alpha < \pi $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для упрощения выражения $\frac{\sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2}}$ воспользуемся формулами двойного угла, выразив $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ через توابع угла $\frac{\alpha}{2}$.

Применим формулы:

$\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

$\cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$, откуда $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.

Преобразуем числитель дроби:

$\sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} = \sin \frac{\alpha}{2} (2 \cos \frac{\alpha}{2} + 1)$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2} = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} (2 \cos \frac{\alpha}{2} + 1)$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sin \frac{\alpha}{2} (2 \cos \frac{\alpha}{2} + 1)}{\cos \frac{\alpha}{2} (2 \cos \frac{\alpha}{2} + 1)}$.

При условии, что $2 \cos \frac{\alpha}{2} + 1 \ne 0$, мы можем сократить общий множитель:

$\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\tan \frac{\alpha}{2}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt{0.5 - 0.5\sqrt{0.5 + 0.5\cos \alpha}}$ при условии $0 < \alpha < \pi$.

Начнем с внутреннего подкоренного выражения: $0.5 + 0.5\cos \alpha$.

Используя формулу понижения степени $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$, получаем:

$0.5 + 0.5\cos \alpha = 0.5(1 + \cos \alpha) = 0.5 \cdot 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{0.5 - 0.5\sqrt{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}} = \sqrt{0.5 - 0.5|\cos \frac{\alpha}{2}|}$.

По условию $0 < \alpha < \pi$, следовательно, $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$. В этом интервале (I четверть) косинус положителен, поэтому $|\cos \frac{\alpha}{2}| = \cos \frac{\alpha}{2}$.

Выражение упрощается до:

$\sqrt{0.5 - 0.5\cos \frac{\alpha}{2}}$.

Снова вынесем общий множитель и применим формулу понижения степени $1 - \cos \beta = 2 \sin^2 \frac{\beta}{2}$ для $\beta = \frac{\alpha}{2}$:

$0.5(1 - \cos \frac{\alpha}{2}) = 0.5 \cdot 2 \sin^2 \frac{\alpha/2}{2} = \sin^2 \frac{\alpha}{4}$.

Таким образом, мы получаем:

$\sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{4}} = |\sin \frac{\alpha}{4}|$.

Из условия $0 < \alpha < \pi$ следует, что $0 < \frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{4}$. В этом интервале (I четверть) синус положителен, поэтому $|\sin \frac{\alpha}{4}| = \sin \frac{\alpha}{4}$.

Ответ: $\sin \frac{\alpha}{4}$.