Номер 827, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 827, страница 227.

Условие.

827. Найдите все значения $x \in [0; \pi]$, при которых выполняется условие $8\cos^4 2x - 8\cos^2 2x - \cos 2x + 1 = 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Преобразуем данное уравнение $8\cos^4(2x) - 8\cos^2(2x) - \cos(2x) + 1 = 0$. Заметим, что его левая часть тесно связана с полиномом Чебышёва первого рода четвертой степени $T_4(y) = 8y^4 - 8y^2 + 1$. Полиномы Чебышёва обладают свойством $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$.

Сделаем замену $y = \cos(2x)$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде $(8y^4 - 8y^2 + 1) - y = 0$, что эквивалентно $T_4(y) - y = 0$.

Вернувшись к переменной $x$, получаем $T_4(\cos(2x)) - \cos(2x) = 0$. Используя свойство полиномов Чебышёва, приходим к уравнению $\cos(4 \cdot 2x) - \cos(2x) = 0$, или $\cos(8x) = \cos(2x)$.

Решение уравнения вида $\cos\alpha = \cos\beta$ можно записать в виде совокупности двух серий: $\alpha = \pm\beta + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае это дает $8x = \pm 2x + 2\pi k$.

Рассмотрим первую серию решений: $8x = 2x + 2\pi k$, откуда $6x = 2\pi k$, и $x = \frac{\pi k}{3}$.

Рассмотрим вторую серию решений: $8x = -2x + 2\pi k$, откуда $10x = 2\pi k$, и $x = \frac{\pi k}{5}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному отрезку $[0; \pi]$. Для серии $x = \frac{\pi k}{3}$ подходящими являются значения при $k=0, 1, 2, 3$, что дает корни: $x=0$, $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\frac{2\pi}{3}$, $x=\pi$.

Для серии $x = \frac{\pi k}{5}$ подходящими являются значения при $k=0, 1, 2, 3, 4, 5$, что дает корни: $x=0$, $x=\frac{\pi}{5}$, $x=\frac{2\pi}{5}$, $x=\frac{3\pi}{5}$, $x=\frac{4\pi}{5}$, $x=\pi$.

Объединяя все уникальные решения, найденные на отрезке $[0; \pi]$, и располагая их в порядке возрастания, получаем окончательный результат.
Ответ: $0; \frac{\pi}{5}; \frac{2\pi}{5}; \frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{5}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{5}; \pi$.