Номер 826, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 826, страница 227.

Условие.

826. Исследуйте, существуют ли наибольшее и наименьшее значения выражения $ \frac{2 \cos^2 \alpha + \cos 4\alpha - 1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}} $. Если существуют, то укажите их.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы исследовать выражение на существование наибольшего и наименьшего значений, мы сначала упростим его. Пусть данное выражение равно $E$.

$E = \frac{2 \cos^2 \alpha + \cos 4\alpha - 1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}}$

Сначала преобразуем числитель дроби. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1$. Отсюда $2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos(2\alpha)$.

Числитель: $2 \cos^2 \alpha + \cos 4\alpha - 1 = (2 \cos^2 \alpha - 1) + \cos 4\alpha = \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)$.

Теперь применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$:

$\cos(4\alpha) + \cos(2\alpha) = 2 \cos \frac{4\alpha+2\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos(3\alpha) \cos(\alpha)$.

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

Знаменатель: $\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2} = (\cos^2 \frac{\alpha}{2})^2 - (\sin^2 \frac{\alpha}{2})^2 = (\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2})(\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2})$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$, получаем:

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1$

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos \alpha$

Таким образом, знаменатель равен $\cos \alpha$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$E = \frac{2 \cos(3\alpha) \cos(\alpha)}{\cos \alpha}$

Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\cos \alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.

При выполнении этого условия мы можем сократить дробь на $\cos \alpha$:

$E = 2 \cos(3\alpha)$

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 \cos(3\alpha)$ с учетом области определения.

Известно, что функция косинуса принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos(3\alpha) \le 1$.

Умножив все части неравенства на 2, получим:

$-2 \le 2 \cos(3\alpha) \le 2$

Таким образом, область значений нашего выражения — это отрезок $[-2, 2]$.

Наибольшее значение выражения равно 2. Оно достигается, когда $\cos(3\alpha) = 1$, то есть $3\alpha = 2\pi n$ или $\alpha = \frac{2\pi n}{3}$ (где $n \in \mathbb{Z}$). При этих значениях $\alpha$ знаменатель $\cos \alpha$ не равен нулю (например, при $n=0$, $\alpha=0$, $\cos 0 = 1 \neq 0$).

Наименьшее значение выражения равно -2. Оно достигается, когда $\cos(3\alpha) = -1$, то есть $3\alpha = \pi + 2\pi n$ или $\alpha = \frac{\pi(1+2n)}{3}$ (где $n \in \mathbb{Z}$). При этих значениях $\alpha$ знаменатель $\cos \alpha$ также не равен нулю (например, при $n=1$, $\alpha=\pi$, $\cos \pi = -1 \neq 0$).

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения существуют и достигаются.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно 2, наименьшее значение равно -2.