Номер 767, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 767, страница 217.
№767 (с. 217)
Условие. №767 (с. 217)
скриншот условия

767. Верно ли равенство:
а) $2\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \cos 20^\circ;$
В) $2\sin 40^\circ \cdot \cos 50^\circ = 1 - \sin 10^\circ;$
Б) $\sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{5\pi}{24} - \frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{4};$
Г) $2\sin \frac{7\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} = 0?$
Решение. №767 (с. 217)

Решение 2 (rus). №767 (с. 217)
а) Чтобы проверить верность равенства $2\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \cos 20^\circ$, преобразуем его левую часть, используя формулу произведения косинусов: $2\cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.
Пусть $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.
Левая часть: $2\cos 40^\circ \cos 20^\circ = \cos(40^\circ - 20^\circ) + \cos(40^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ + \cos 60^\circ$.
Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, левая часть равна $\cos 20^\circ + \frac{1}{2}$.
Подставив это в исходное равенство, получаем: $\cos 20^\circ + \frac{1}{2} = \cos 20^\circ$.
Отсюда следует, что $\frac{1}{2} = 0$, что является ложным утверждением. Следовательно, исходное равенство неверно.
Ответ: неверно.
б) Проверим равенство $\sin\frac{\pi}{24} \cdot \cos\frac{5\pi}{24} - \frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{4}$.
Преобразуем произведение синуса на косинус в левой части, используя формулу $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{24}$ и $\beta = \frac{5\pi}{24}$.
$\sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{5\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{24} - \frac{5\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{6\pi}{24} + \sin\left(-\frac{4\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{6}\right)$.
Подставим известные значения $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{4}$.
Теперь подставим это выражение в левую часть исходного равенства:
$\frac{\sqrt{2}-1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}-1-\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{4}$.
Получили, что левая часть равна правой: $-\frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$. Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.
в) Проверим равенство $2\sin 40^\circ \cdot \cos 50^\circ = 1 - \sin 10^\circ$.
Используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Пусть $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 50^\circ$.
Левая часть: $2\sin 40^\circ \cos 50^\circ = \sin(40^\circ + 50^\circ) + \sin(40^\circ - 50^\circ) = \sin 90^\circ + \sin(-10^\circ)$.
Так как $\sin 90^\circ = 1$ и $\sin(-10^\circ) = -\sin 10^\circ$, левая часть равна $1 - \sin 10^\circ$.
Правая часть равенства также равна $1 - \sin 10^\circ$.
Поскольку левая и правая части равны, исходное равенство верно.
Ответ: верно.
г) Проверим равенство $2\sin\frac{7\pi}{12} \cdot \sin\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} = 0$.
Преобразуем произведение синусов в левой части, используя формулу $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.
Пусть $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.
$2\sin\frac{7\pi}{12} \sin\frac{\pi}{12} = \cos\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{6\pi}{12} - \cos\frac{8\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{2} - \cos\frac{2\pi}{3}$.
Подставим известные значения $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$:
$0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного равенства:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Получаем равенство $1 = 0$, что является ложным. Следовательно, исходное равенство неверно.
Ответ: неверно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 767 расположенного на странице 217 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №767 (с. 217), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.