Номер 767, страница 217 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 767, страница 217.

Условие.

767. Верно ли равенство:

а) $2\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \cos 20^\circ;$

В) $2\sin 40^\circ \cdot \cos 50^\circ = 1 - \sin 10^\circ;$

Б) $\sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{5\pi}{24} - \frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{4};$

Г) $2\sin \frac{7\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} = 0?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы проверить верность равенства $2\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \cos 20^\circ$, преобразуем его левую часть, используя формулу произведения косинусов: $2\cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.

Пусть $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 20^\circ$.

Левая часть: $2\cos 40^\circ \cos 20^\circ = \cos(40^\circ - 20^\circ) + \cos(40^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ + \cos 60^\circ$.

Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, левая часть равна $\cos 20^\circ + \frac{1}{2}$.

Подставив это в исходное равенство, получаем: $\cos 20^\circ + \frac{1}{2} = \cos 20^\circ$.

Отсюда следует, что $\frac{1}{2} = 0$, что является ложным утверждением. Следовательно, исходное равенство неверно.

Ответ: неверно.

б) Проверим равенство $\sin\frac{\pi}{24} \cdot \cos\frac{5\pi}{24} - \frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{4}$.

Преобразуем произведение синуса на косинус в левой части, используя формулу $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

Пусть $\alpha = \frac{\pi}{24}$ и $\beta = \frac{5\pi}{24}$.

$\sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{5\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{24} - \frac{5\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{6\pi}{24} + \sin\left(-\frac{4\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{6}\right)$.

Подставим известные значения $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{4}$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sqrt{2}-1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}-1-\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{4}$.

Получили, что левая часть равна правой: $-\frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$. Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

в) Проверим равенство $2\sin 40^\circ \cdot \cos 50^\circ = 1 - \sin 10^\circ$.

Используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.

Пусть $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 50^\circ$.

Левая часть: $2\sin 40^\circ \cos 50^\circ = \sin(40^\circ + 50^\circ) + \sin(40^\circ - 50^\circ) = \sin 90^\circ + \sin(-10^\circ)$.

Так как $\sin 90^\circ = 1$ и $\sin(-10^\circ) = -\sin 10^\circ$, левая часть равна $1 - \sin 10^\circ$.

Правая часть равенства также равна $1 - \sin 10^\circ$.

Поскольку левая и правая части равны, исходное равенство верно.

Ответ: верно.

г) Проверим равенство $2\sin\frac{7\pi}{12} \cdot \sin\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} = 0$.

Преобразуем произведение синусов в левой части, используя формулу $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

Пусть $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.

$2\sin\frac{7\pi}{12} \sin\frac{\pi}{12} = \cos\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) - \cos\left(\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{6\pi}{12} - \cos\frac{8\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{2} - \cos\frac{2\pi}{3}$.

Подставим известные значения $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$:

$0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного равенства:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Получаем равенство $1 = 0$, что является ложным. Следовательно, исходное равенство неверно.

Ответ: неверно.