Номер 761, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 761, страница 215.

Условие.

761. Исследуйте, при каком соотношении между $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ верно равенство $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы данное равенство было верным, необходимо, чтобы значения тангенсов для углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ были определены. Это означает, что ни один из углов не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Запишем исходное равенство:

$\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg \alpha \cdot \tg \beta \cdot \tg \gamma$

Перенесем $\tg \gamma$ в правую часть уравнения:

$\tg \alpha + \tg \beta = \tg \alpha \cdot \tg \beta \cdot \tg \gamma - \tg \gamma$

Вынесем $\tg \gamma$ за скобки в правой части:

$\tg \alpha + \tg \beta = \tg \gamma (\tg \alpha \cdot \tg \beta - 1)$

Для удобства дальнейших преобразований умножим правую часть на $-1$:

$\tg \alpha + \tg \beta = - \tg \gamma (1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta)$

Рассмотрим случай, когда выражение в скобках равно нулю: $1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta = 0$, что равносильно $\tg \alpha \cdot \tg \beta = 1$. В этом случае левая часть уравнения $\tg \alpha + \tg \beta$ также должна быть равна нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \tg \alpha + \tg \beta = 0 \\ \tg \alpha \cdot \tg \beta = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует $\tg \beta = - \tg \alpha$. Подставив это во второе уравнение, получим $\tg \alpha \cdot (-\tg \alpha) = 1$, или $-\tg^2 \alpha = 1$, что равносильно $\tg^2 \alpha = -1$. Данное уравнение не имеет действительных решений для $\tg \alpha$. Следовательно, случай $1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta = 0$ невозможен.

Поскольку $1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $\tg \alpha + \tg \beta = - \tg \gamma (1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta)$ на $1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta$:

$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} = - \tg \gamma$

Левая часть этого уравнения представляет собой формулу тангенса суммы углов $\alpha$ и $\beta$:

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta}$

Следовательно, мы получаем равенство:

$\tg(\alpha + \beta) = - \tg \gamma$

Используя свойство нечетности функции тангенса, $-\tg \gamma = \tg(-\gamma)$, перепишем равенство в виде:

$\tg(\alpha + \beta) = \tg(-\gamma)$

Равенство тангенсов двух углов $\tg A = \tg B$ выполняется тогда и только тогда, когда $A = B + n\pi$, где $n$ — любое целое число. Применяя это к нашему случаю, получаем:

$\alpha + \beta = -\gamma + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Перенеся $\gamma$ в левую часть, мы находим искомое соотношение между углами:

$\alpha + \beta + \gamma = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данное соотношение является необходимым и достаточным условием для выполнения исходного равенства при условии, что все тангенсы определены. Например, если $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то их сумма равна $\pi$ ($\alpha + \beta + \gamma = \pi$, что является частным случаем при $n=1$), и для них данное тригонометрическое равенство будет верным.

Ответ: Равенство $\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg \alpha \cdot \tg \beta \cdot \tg \gamma$ верно при условии, что сумма углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ равна целому числу, умноженному на $\pi$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$, и при этом значения $\tg \alpha$, $\tg \beta$ и $\tg \gamma$ определены (то есть ни один из углов не равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$ для любого целого $k$).