Номер 761, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 761, страница 215.
№761 (с. 215)
Условие. №761 (с. 215)
скриншот условия

761. Исследуйте, при каком соотношении между $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ верно равенство $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \gamma = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma$.
Решение. №761 (с. 215)


Решение 2 (rus). №761 (с. 215)
Для того чтобы данное равенство было верным, необходимо, чтобы значения тангенсов для углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ были определены. Это означает, что ни один из углов не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.
Запишем исходное равенство:
$\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg \alpha \cdot \tg \beta \cdot \tg \gamma$
Перенесем $\tg \gamma$ в правую часть уравнения:
$\tg \alpha + \tg \beta = \tg \alpha \cdot \tg \beta \cdot \tg \gamma - \tg \gamma$
Вынесем $\tg \gamma$ за скобки в правой части:
$\tg \alpha + \tg \beta = \tg \gamma (\tg \alpha \cdot \tg \beta - 1)$
Для удобства дальнейших преобразований умножим правую часть на $-1$:
$\tg \alpha + \tg \beta = - \tg \gamma (1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta)$
Рассмотрим случай, когда выражение в скобках равно нулю: $1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta = 0$, что равносильно $\tg \alpha \cdot \tg \beta = 1$. В этом случае левая часть уравнения $\tg \alpha + \tg \beta$ также должна быть равна нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} \tg \alpha + \tg \beta = 0 \\ \tg \alpha \cdot \tg \beta = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения следует $\tg \beta = - \tg \alpha$. Подставив это во второе уравнение, получим $\tg \alpha \cdot (-\tg \alpha) = 1$, или $-\tg^2 \alpha = 1$, что равносильно $\tg^2 \alpha = -1$. Данное уравнение не имеет действительных решений для $\tg \alpha$. Следовательно, случай $1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta = 0$ невозможен.
Поскольку $1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $\tg \alpha + \tg \beta = - \tg \gamma (1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta)$ на $1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta$:
$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} = - \tg \gamma$
Левая часть этого уравнения представляет собой формулу тангенса суммы углов $\alpha$ и $\beta$:
$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta}$
Следовательно, мы получаем равенство:
$\tg(\alpha + \beta) = - \tg \gamma$
Используя свойство нечетности функции тангенса, $-\tg \gamma = \tg(-\gamma)$, перепишем равенство в виде:
$\tg(\alpha + \beta) = \tg(-\gamma)$
Равенство тангенсов двух углов $\tg A = \tg B$ выполняется тогда и только тогда, когда $A = B + n\pi$, где $n$ — любое целое число. Применяя это к нашему случаю, получаем:
$\alpha + \beta = -\gamma + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Перенеся $\gamma$ в левую часть, мы находим искомое соотношение между углами:
$\alpha + \beta + \gamma = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Данное соотношение является необходимым и достаточным условием для выполнения исходного равенства при условии, что все тангенсы определены. Например, если $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то их сумма равна $\pi$ ($\alpha + \beta + \gamma = \pi$, что является частным случаем при $n=1$), и для них данное тригонометрическое равенство будет верным.
Ответ: Равенство $\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg \alpha \cdot \tg \beta \cdot \tg \gamma$ верно при условии, что сумма углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ равна целому числу, умноженному на $\pi$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$, и при этом значения $\tg \alpha$, $\tg \beta$ и $\tg \gamma$ определены (то есть ни один из углов не равен $\frac{\pi}{2} + k\pi$ для любого целого $k$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 761 расположенного на странице 215 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №761 (с. 215), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.