Номер 762, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 762, страница 215.

Условие.

762. Найдите все значения $x \in [0; \pi]$

такие, что:

а) $\cos 2x + \cos x = 0;$

б) $\sin 3x - \sin x = 0;$

в) $2\sin x \cdot \cos x + \sin 4x = 0;$

г) $2\cos^2 x - 1 - \cos 4x = 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $ \cos 2x + \cos x = 0 $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2x - 1 $. Подставим ее в уравнение:

$ 2\cos^2x - 1 + \cos x = 0 $

Перепишем в виде квадратного уравнения относительно $ \cos x $:

$ 2\cos^2x + \cos x - 1 = 0 $

Сделаем замену $ t = \cos x $. Так как $ x \in [0; \pi] $, то $ t \in [-1; 1] $.

$ 2t^2 + t - 1 = 0 $

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $. Корни:

$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} $

$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1-3}{4} = -1 $

Оба корня принадлежат отрезку $ [-1; 1] $. Возвращаемся к замене:

1) $ \cos x = \frac{1}{2} $. На отрезке $ [0; \pi] $ это уравнение имеет один корень $ x = \frac{\pi}{3} $.

2) $ \cos x = -1 $. На отрезке $ [0; \pi] $ это уравнение имеет один корень $ x = \pi $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{3}, x = \pi $.

б) $ \sin 3x - \sin x = 0 $

Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $:

$ 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 0 $

$ 2\sin x \cos 2x = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $ \sin x = 0 $. Общее решение $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $. На отрезке $ [0; \pi] $ получаем корни $ x=0 $ (при $ k=0 $) и $ x=\pi $ (при $ k=1 $).

2) $ \cos 2x = 0 $. Общее решение $ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, то есть $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} $.

Найдем корни на отрезке $ [0; \pi] $:

при $ n=0: x = \frac{\pi}{4} $

при $ n=1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} $

при $ n=2: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} > \pi $ (не подходит).

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ x=0, x=\frac{\pi}{4}, x=\frac{3\pi}{4}, x=\pi $.

в) $ 2\sin x \cdot \cos x + \sin 4x = 0 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Тогда $ 2\sin x \cos x = \sin 2x $. Уравнение принимает вид:

$ \sin 2x + \sin 4x = 0 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2\sin\frac{2x+4x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2} = 0 $

$ 2\sin 3x \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $ \sin 3x = 0 $. Общее решение $ 3x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $, то есть $ x = \frac{\pi k}{3} $.

Найдем корни на отрезке $ [0; \pi] $:

при $ k=0: x=0 $

при $ k=1: x=\frac{\pi}{3} $

при $ k=2: x=\frac{2\pi}{3} $

при $ k=3: x=\pi $

при $ k=4: x=\frac{4\pi}{3} > \pi $ (не подходит).

2) $ \cos x = 0 $. Общее решение $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. На отрезке $ [0; \pi] $ получаем корень $ x = \frac{\pi}{2} $ (при $ n=0 $).

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ x=0, x=\frac{\pi}{3}, x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{2\pi}{3}, x=\pi $.

г) $ 2\cos^2x - 1 - \cos 4x = 0 $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $. Тогда $ 2\cos^2x - 1 = \cos 2x $. Уравнение принимает вид:

$ \cos 2x - \cos 4x = 0 $

$ \cos 4x = \cos 2x $

Равенство косинусов $ \cos A = \cos B $ выполняется, если $ A = \pm B + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

1) $ 4x = 2x + 2\pi k $

$ 2x = 2\pi k $

$ x = \pi k $

На отрезке $ [0; \pi] $ получаем корни $ x=0 $ (при $ k=0 $) и $ x=\pi $ (при $ k=1 $).

2) $ 4x = -2x + 2\pi k $

$ 6x = 2\pi k $

$ x = \frac{\pi k}{3} $

Найдем корни на отрезке $ [0; \pi] $:

при $ k=0: x=0 $ (уже найден)

при $ k=1: x=\frac{\pi}{3} $

при $ k=2: x=\frac{2\pi}{3} $

при $ k=3: x=\pi $ (уже найден)

при $ k=4: x=\frac{4\pi}{3} > \pi $ (не подходит).

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ x=0, x=\frac{\pi}{3}, x=\frac{2\pi}{3}, x=\pi $.