Номер 755, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 755, страница 214.

Условие.

755. Представьте выражение в виде произведения и найдите его значение при $\alpha = 15^\circ$:

a) $\cos 2\alpha + \cos 14\alpha + \cos 6\alpha + \cos 10\alpha;$

б) $\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Данное выражение: $\cos 2\alpha + \cos 14\alpha + \cos 6\alpha + \cos 10\alpha$.

Чтобы представить выражение в виде произведения, сгруппируем слагаемые и применим формулы преобразования суммы в произведение.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(\cos 14\alpha + \cos 2\alpha) + (\cos 10\alpha + \cos 6\alpha)$.

Используем формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

Преобразуем первую группу:

$\cos 14\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\frac{14\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{14\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos 8\alpha \cos 6\alpha$.

Преобразуем вторую группу:

$\cos 10\alpha + \cos 6\alpha = 2 \cos\frac{10\alpha+6\alpha}{2} \cos\frac{10\alpha-6\alpha}{2} = 2 \cos 8\alpha \cos 2\alpha$.

Теперь сложим полученные произведения:

$2 \cos 8\alpha \cos 6\alpha + 2 \cos 8\alpha \cos 2\alpha$.

Вынесем общий множитель $2 \cos 8\alpha$ за скобки:

$2 \cos 8\alpha (\cos 6\alpha + \cos 2\alpha)$.

К выражению в скобках снова применим формулу суммы косинусов:

$\cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha$.

Подставим это обратно в выражение и получим окончательный вид произведения:

$2 \cos 8\alpha (2 \cos 4\alpha \cos 2\alpha) = 4 \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha$.

Теперь найдем значение этого выражения при $\alpha = 15^\circ$.

Подставим $\alpha = 15^\circ$ в полученное произведение:

$4 \cos(2 \cdot 15^\circ) \cos(4 \cdot 15^\circ) \cos(8 \cdot 15^\circ) = 4 \cos 30^\circ \cos 60^\circ \cos 120^\circ$.

Используем известные значения тригонометрических функций:

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

Вычисляем значение:

$4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{8}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б)

Данное выражение: $\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha$.

Сгруппируем слагаемые: $(\sin 7\alpha + \sin \alpha) + (\sin 5\alpha + \sin 3\alpha)$.

Используем формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

Преобразуем первую группу:

$\sin 7\alpha + \sin \alpha = 2 \sin\frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha$.

Преобразуем вторую группу:

$\sin 5\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos \alpha$.

Сложим полученные произведения:

$2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha + 2 \sin 4\alpha \cos \alpha$.

Вынесем общий множитель $2 \sin 4\alpha$ за скобки:

$2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$ к выражению в скобках:

$\cos 3\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha$.

Подставив это обратно, получим выражение в виде произведения:

$2 \sin 4\alpha (2 \cos 2\alpha \cos \alpha) = 4 \cos \alpha \cos 2\alpha \sin 4\alpha$.

Теперь найдем значение этого выражения при $\alpha = 15^\circ$.

Подставим $\alpha = 15^\circ$ в полученное произведение:

$4 \cos(15^\circ) \cos(2 \cdot 15^\circ) \sin(4 \cdot 15^\circ) = 4 \cos 15^\circ \cos 30^\circ \sin 60^\circ$.

Используем известные значения тригонометрических функций $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для нахождения $\cos 15^\circ$ используем формулу косинуса разности:

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Вычисляем значение всего выражения:

$4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$.

Ответ: $\frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$.