Номер 751, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 751, страница 214.

Условие.

751. Верхнее основание равнобедренной трапеции равно 4 и равно его боковой стороне, которая образует с нижним основанием угол $\alpha$. Докажите, что нижнее основание трапеции равно $16\cos(30^\circ + \frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(30^\circ - \frac{\alpha}{2})$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Согласно условию задачи, верхнее основание $BC = 4$, боковые стороны $AB = CD = 4$, а угол при нижнем основании $\angle DAB = \angle CDA = \alpha$.

Для нахождения длины нижнего основания $AD$ опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$.

Поскольку $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$. Следовательно, $HK = BC = 4$. Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и острому углу ($AB = CD = 4$ и $\angle A = \angle D = \alpha$). Из равенства треугольников следует, что $AH = KD$.

Длина нижнего основания $AD$ складывается из длин отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Заменяя $KD$ на $AH$ и $HK$ на 4, получаем: $AD = 2 \cdot AH + 4$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем гипотенуза $AB = 4$ и угол $\angle BAH = \alpha$. Катет $AH$, прилежащий к этому углу, равен $AH = AB \cdot \cos(\alpha) = 4 \cos(\alpha)$.

Подставим найденное выражение для $AH$ в формулу для $AD$: $AD = 2 \cdot (4 \cos(\alpha)) + 4 = 8 \cos(\alpha) + 4$.

Теперь преобразуем выражение, которое дано в условии для доказательства: $16\cos(30^\circ + \frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(30^\circ - \frac{\alpha}{2})$.

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения косинусов: $\cos(x) \cos(y) = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y))$.

Пусть $x = 30^\circ + \frac{\alpha}{2}$ и $y = 30^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Тогда:

$x+y = (30^\circ + \frac{\alpha}{2}) + (30^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 60^\circ$

$x-y = (30^\circ + \frac{\alpha}{2}) - (30^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \alpha$

Подставим эти значения в формулу:

$16\cos(30^\circ + \frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(30^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 16 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\alpha) + \cos(60^\circ)) = 8(\cos(\alpha) + \cos(60^\circ))$.

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, подставляем это значение в выражение:

$8(\cos(\alpha) + \frac{1}{2}) = 8 \cos(\alpha) + 8 \cdot \frac{1}{2} = 8\cos(\alpha) + 4$.

Мы получили, что выражение $16\cos(30^\circ + \frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(30^\circ - \frac{\alpha}{2})$ равно $8\cos(\alpha) + 4$. Ранее мы нашли, что длина нижнего основания $AD$ также равна $8\cos(\alpha) + 4$.

Таким образом, равенство $AD = 16\cos(30^\circ + \frac{\alpha}{2}) \cdot \cos(30^\circ - \frac{\alpha}{2})$ доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.