Номер 754, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 754, страница 214.
№754 (с. 214)
Условие. №754 (с. 214)
скриншот условия

754. Представьте в виде произведения выражения:
a) $ \cos 18^\circ + \cos 36^\circ + \cos 54^\circ + \cos 72^\circ; $
б) $ \sin 40^\circ + \sin 100^\circ + \sin 220^\circ + \sin 160^\circ. $
Решение. №754 (с. 214)


Решение 2 (rus). №754 (с. 214)
а)
Дано выражение: $cos 18° + cos 36° + cos 54° + cos 72°$.
Для преобразования суммы в произведение сгруппируем слагаемые: первое с четвертым и второе с третьим.
$(cos 72° + cos 18°) + (cos 54° + cos 36°)$
Воспользуемся формулой суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.
Преобразуем первую группу $(cos 72° + cos 18°)$:
$2 cos \frac{72° + 18°}{2} cos \frac{72° - 18°}{2} = 2 cos \frac{90°}{2} cos \frac{54°}{2} = 2 cos 45° cos 27°$.
Преобразуем вторую группу $(cos 54° + cos 36°)$:
$2 cos \frac{54° + 36°}{2} cos \frac{54° - 36°}{2} = 2 cos \frac{90°}{2} cos \frac{18°}{2} = 2 cos 45° cos 9°$.
Подставим полученные произведения обратно в выражение:
$2 cos 45° cos 27° + 2 cos 45° cos 9°$
Вынесем общий множитель $2 cos 45°$ за скобки:
$2 cos 45° (cos 27° + cos 9°)$
Снова применим формулу суммы косинусов для выражения в скобках $(cos 27° + cos 9°)$:
$2 cos \frac{27° + 9°}{2} cos \frac{27° - 9°}{2} = 2 cos \frac{36°}{2} cos \frac{18°}{2} = 2 cos 18° cos 9°$.
Подставим это в наше выражение:
$2 cos 45° \cdot (2 cos 18° cos 9°) = 4 cos 45° cos 18° cos 9°$.
Зная, что $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos 18° cos 9° = 2\sqrt{2} cos 18° cos 9°$.
Ответ: $2\sqrt{2} cos 18° cos 9°$.
б)
Дано выражение: $sin 40° + sin 100° + sin 220° + sin 160°$.
Сгруппируем слагаемые: первый с третьим и второй с четвертым.
$(sin 220° + sin 40°) + (sin 160° + sin 100°)$
Воспользуемся формулой суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.
Преобразуем первую группу $(sin 220° + sin 40°)$:
$2 sin \frac{220° + 40°}{2} cos \frac{220° - 40°}{2} = 2 sin \frac{260°}{2} cos \frac{180°}{2} = 2 sin 130° cos 90°$.
Так как $cos 90° = 0$, то вся первая группа равна $2 sin 130° \cdot 0 = 0$.
Преобразуем вторую группу $(sin 160° + sin 100°)$:
$2 sin \frac{160° + 100°}{2} cos \frac{160° - 100°}{2} = 2 sin \frac{260°}{2} cos \frac{60°}{2} = 2 sin 130° cos 30°$.
Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$0 + 2 sin 130° cos 30° = 2 sin 130° cos 30°$.
Зная, что $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2 sin 130° \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} sin 130°$.
Для более компактного вида ответа можно использовать формулу приведения: $sin 130° = sin(90° + 40°) = cos 40°$.
Итоговое выражение: $\sqrt{3} cos 40°$.
Ответ: $\sqrt{3} cos 40°$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 754 расположенного на странице 214 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №754 (с. 214), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.