Номер 754, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 754, страница 214.

Условие.

754. Представьте в виде произведения выражения:

a) $ \cos 18^\circ + \cos 36^\circ + \cos 54^\circ + \cos 72^\circ; $

б) $ \sin 40^\circ + \sin 100^\circ + \sin 220^\circ + \sin 160^\circ. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дано выражение: $cos 18° + cos 36° + cos 54° + cos 72°$.

Для преобразования суммы в произведение сгруппируем слагаемые: первое с четвертым и второе с третьим.

$(cos 72° + cos 18°) + (cos 54° + cos 36°)$

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Преобразуем первую группу $(cos 72° + cos 18°)$:

$2 cos \frac{72° + 18°}{2} cos \frac{72° - 18°}{2} = 2 cos \frac{90°}{2} cos \frac{54°}{2} = 2 cos 45° cos 27°$.

Преобразуем вторую группу $(cos 54° + cos 36°)$:

$2 cos \frac{54° + 36°}{2} cos \frac{54° - 36°}{2} = 2 cos \frac{90°}{2} cos \frac{18°}{2} = 2 cos 45° cos 9°$.

Подставим полученные произведения обратно в выражение:

$2 cos 45° cos 27° + 2 cos 45° cos 9°$

Вынесем общий множитель $2 cos 45°$ за скобки:

$2 cos 45° (cos 27° + cos 9°)$

Снова применим формулу суммы косинусов для выражения в скобках $(cos 27° + cos 9°)$:

$2 cos \frac{27° + 9°}{2} cos \frac{27° - 9°}{2} = 2 cos \frac{36°}{2} cos \frac{18°}{2} = 2 cos 18° cos 9°$.

Подставим это в наше выражение:

$2 cos 45° \cdot (2 cos 18° cos 9°) = 4 cos 45° cos 18° cos 9°$.

Зная, что $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos 18° cos 9° = 2\sqrt{2} cos 18° cos 9°$.

Ответ: $2\sqrt{2} cos 18° cos 9°$.

б)

Дано выражение: $sin 40° + sin 100° + sin 220° + sin 160°$.

Сгруппируем слагаемые: первый с третьим и второй с четвертым.

$(sin 220° + sin 40°) + (sin 160° + sin 100°)$

Воспользуемся формулой суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Преобразуем первую группу $(sin 220° + sin 40°)$:

$2 sin \frac{220° + 40°}{2} cos \frac{220° - 40°}{2} = 2 sin \frac{260°}{2} cos \frac{180°}{2} = 2 sin 130° cos 90°$.

Так как $cos 90° = 0$, то вся первая группа равна $2 sin 130° \cdot 0 = 0$.

Преобразуем вторую группу $(sin 160° + sin 100°)$:

$2 sin \frac{160° + 100°}{2} cos \frac{160° - 100°}{2} = 2 sin \frac{260°}{2} cos \frac{60°}{2} = 2 sin 130° cos 30°$.

Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$0 + 2 sin 130° cos 30° = 2 sin 130° cos 30°$.

Зная, что $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 sin 130° \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} sin 130°$.

Для более компактного вида ответа можно использовать формулу приведения: $sin 130° = sin(90° + 40°) = cos 40°$.

Итоговое выражение: $\sqrt{3} cos 40°$.

Ответ: $\sqrt{3} cos 40°$.