Номер 750, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 750, страница 213.

Условие.

750. a)

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник $ABC$, равен $\sqrt{2}$. Докажите, что гипотенуза $AB$ этого треугольника равна $\frac{1}{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \left(45^{\circ}-\frac{A}{2}\right)}$.

б)

Угол наклона башен комплекса «Изумрудный квартал» достигает $15^{\circ}$. Верно ли, что тангенс этого угла равен: 1) $2-\sqrt{3}$; 2) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$. Обозначим катеты $a=BC$, $b=AC$ и гипотенузу $c=AB$. Углы треугольника $A$, $B$ и $C=90^\circ$ связаны соотношением $A+B=90^\circ$, откуда $B = 90^\circ - A$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r$ вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Из теоремы синусов для треугольника $ABC$ имеем $a = c \sin A$ и $b = c \sin B$. Подставим эти выражения в формулу для радиуса:

$r = \frac{c \sin A + c \sin B - c}{2} = \frac{c(\sin A + \sin B - 1)}{2}$.

Так как $B = 90^\circ - A$, то $\sin B = \sin(90^\circ - A) = \cos A$. Формула для радиуса принимает вид:

$r = \frac{c(\sin A + \cos A - 1)}{2}$.

По условию задачи $r = \sqrt{2}$. Подставим это значение:

$\sqrt{2} = \frac{c(\sin A + \cos A - 1)}{2}$.

Выразим гипотенузу $c$ из этого равенства:

$c = \frac{2\sqrt{2}}{\sin A + \cos A - 1}$.

Теперь преобразуем выражение, равенство которому нам нужно доказать: $\frac{1}{\sin\frac{A}{2} \cdot \sin(45^\circ - \frac{A}{2})}$.

Применим тригонометрическую формулу произведения синусов: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$.

Пусть $x=\frac{A}{2}$ и $y=45^\circ - \frac{A}{2}$. Тогда $x-y = \frac{A}{2} - (45^\circ - \frac{A}{2}) = A - 45^\circ$ и $x+y = \frac{A}{2} + 45^\circ - \frac{A}{2} = 45^\circ$.

Знаменатель исходного выражения равен:

$\sin\frac{A}{2} \sin(45^\circ - \frac{A}{2}) = \frac{1}{2}(\cos(A-45^\circ) - \cos(45^\circ))$.

Используем формулу косинуса разности $\cos(A-45^\circ) = \cos A \cos 45^\circ + \sin A \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A + \sin A)$. Также нам известно, что $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в выражение для знаменателя:

$\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A + \sin A) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}(\cos A + \sin A - 1)$.

Теперь всё выражение, которое мы преобразовывали, равно:

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}(\cos A + \sin A - 1)} = \frac{4}{\sqrt{2}(\cos A + \sin A - 1)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin A + \cos A - 1}$.

Мы получили, что выражение $\frac{1}{\sin\frac{A}{2} \cdot \sin(45^\circ - \frac{A}{2})}$ равно $\frac{2\sqrt{2}}{\sin A + \cos A - 1}$, что в свою очередь равно гипотенузе $c$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б) Требуется проверить, равен ли $\tan(15^\circ)$ заданным числовым выражениям. Для этого сначала вычислим точное значение $\tan(15^\circ)$.

Используем формулу тангенса разности углов $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$, представив $15^\circ$ как $45^\circ - 30^\circ$.

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$.

Зная, что $\tan(45^\circ) = 1$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, подставляем эти значения:

$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:

$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами.

1) Выражение $2 - \sqrt{3}$.

Это значение в точности совпадает с вычисленным нами значением $\tan(15^\circ)$. Следовательно, первое утверждение верно.

2) Выражение $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное $(2-\sqrt{3})$:

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}$.

Это значение также совпадает с вычисленным нами значением $\tan(15^\circ)$. Следовательно, второе утверждение тоже верно.

Ответ: Да, верно, что тангенс этого угла равен и $2 - \sqrt{3}$, и $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$, так как оба эти выражения равны $\tan(15^\circ)$.