Номер 743, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 743, страница 212.

Условие.

743. Докажите тождество:

a) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha;$

б) $\frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha;$

в) $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)} = \operatorname{tg} \alpha;$

г) $\frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)} = \operatorname{tg} \alpha.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов: $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$ и $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

В числителе: $\sin \alpha + \sin 3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha \cos\alpha$.

В знаменателе: $\cos \alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos 2\alpha \cos\alpha$.

Тогда левая часть равна: $\frac{2\sin 2\alpha \cos\alpha}{2\cos 2\alpha \cos\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg } 2\alpha$. Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и воспользуемся формулами преобразования суммы в произведение.

$\frac{\sin\alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos\alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \frac{(\sin\alpha + \sin 3\alpha) + \sin 2\alpha}{(\cos\alpha + \cos 3\alpha) + \cos 2\alpha}$.

Используя преобразования из пункта а), имеем: $\sin\alpha + \sin 3\alpha = 2\sin 2\alpha \cos\alpha$ и $\cos\alpha + \cos 3\alpha = 2\cos 2\alpha \cos\alpha$.

Подставим эти выражения в дробь: $\frac{2\sin 2\alpha \cos\alpha + \sin 2\alpha}{2\cos 2\alpha \cos\alpha + \cos 2\alpha}$.

Вынесем общие множители $\sin 2\alpha$ в числителе и $\cos 2\alpha$ в знаменателе: $\frac{\sin 2\alpha (2\cos\alpha + 1)}{\cos 2\alpha (2\cos\alpha + 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(2\cos\alpha + 1)$: $\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg } 2\alpha$. Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя формулы суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$ и суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

Числитель: $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Знаменатель: $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos\beta$.

Тогда левая часть равна: $\frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg } \alpha$. Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть, используя формулы разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ и разности синусов $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.

Числитель: $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$. Пусть $A = \alpha - \beta$, $B = \alpha + \beta$. Тогда $\frac{A+B}{2}=\alpha$, $\frac{A-B}{2}=-\beta$.

$\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = -2\sin\alpha\sin(-\beta) = -2\sin\alpha(-\sin\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$.

Знаменатель: $\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)$. Пусть $A = \alpha + \beta$, $B = \alpha - \beta$. Тогда $\frac{A+B}{2}=\alpha$, $\frac{A-B}{2}=\beta$.

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\sin\beta$.

Тогда левая часть равна: $\frac{2\sin\alpha\sin\beta}{2\cos\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg } \alpha$. Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.