Номер 742, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 742, страница 212.

Условие.

742. Найдите значение выражения:

a) $\frac{\sin 54^\circ - \sin 36^\circ}{\sin 9^\circ}$;

б) $\frac{\cos 25^\circ + \cos 85^\circ}{\cos 55^\circ}$;

в) $\frac{\sin 16^\circ + \sin 74^\circ}{\cos 16^\circ + \cos 74^\circ}$;

г) $\frac{\cos 12^\circ - \cos 78^\circ}{\sin 12^\circ - \sin 78^\circ}$;

д) $\frac{\cos 40^\circ - \cos 80^\circ}{1 - 2\sin^2 35^\circ}$;

е) $\frac{\sin 37^\circ - \sin 53^\circ}{2\cos^2 49^\circ - 1}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для преобразования числителя используем формулу разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.
$ \frac{\sin 54^\circ - \sin 36^\circ}{\sin 9^\circ} = \frac{2 \sin\frac{54^\circ - 36^\circ}{2} \cos\frac{54^\circ + 36^\circ}{2}}{\sin 9^\circ} = \frac{2 \sin 9^\circ \cos 45^\circ}{\sin 9^\circ} $.
Сокращаем $ \sin 9^\circ $ в числителе и знаменателе, так как $ \sin 9^\circ \neq 0 $.
$ 2 \cos 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $.
Ответ: $ \sqrt{2} $.

б) Для преобразования числителя используем формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.
$ \frac{\cos 25^\circ + \cos 85^\circ}{\cos 55^\circ} = \frac{2 \cos\frac{25^\circ + 85^\circ}{2} \cos\frac{25^\circ - 85^\circ}{2}}{\cos 55^\circ} = \frac{2 \cos 55^\circ \cos(-30^\circ)}{\cos 55^\circ} $.
Так как $ \cos(-x) = \cos(x) $, получаем $ \frac{2 \cos 55^\circ \cos 30^\circ}{\cos 55^\circ} $.
Сокращаем $ \cos 55^\circ $ и вычисляем значение:
$ 2 \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $.

в) Используем формулы суммы синусов и суммы косинусов.
Числитель: $ \sin 16^\circ + \sin 74^\circ = 2 \sin\frac{16^\circ + 74^\circ}{2} \cos\frac{16^\circ - 74^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos(-29^\circ) = 2 \sin 45^\circ \cos 29^\circ $.
Знаменатель: $ \cos 16^\circ + \cos 74^\circ = 2 \cos\frac{16^\circ + 74^\circ}{2} \cos\frac{16^\circ - 74^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \cos(-29^\circ) = 2 \cos 45^\circ \cos 29^\circ $.
Подставляем в исходное выражение:
$ \frac{2 \sin 45^\circ \cos 29^\circ}{2 \cos 45^\circ \cos 29^\circ} = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \tan 45^\circ = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

г) Используем формулы приведения: $ \cos 78^\circ = \cos(90^\circ - 12^\circ) = \sin 12^\circ $ и $ \sin 78^\circ = \sin(90^\circ - 12^\circ) = \cos 12^\circ $.
Подставляем эти значения в выражение:
$ \frac{\cos 12^\circ - \cos 78^\circ}{\sin 12^\circ - \sin 78^\circ} = \frac{\cos 12^\circ - \sin 12^\circ}{\sin 12^\circ - \cos 12^\circ} $.
Выносим $ -1 $ за скобки в числителе:
$ \frac{-(\sin 12^\circ - \cos 12^\circ)}{\sin 12^\circ - \cos 12^\circ} = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

д) Преобразуем числитель по формуле разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $ и знаменатель по формуле косинуса двойного угла $ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta $.
Числитель: $ \cos 40^\circ - \cos 80^\circ = -2 \sin\frac{40^\circ + 80^\circ}{2} \sin\frac{40^\circ - 80^\circ}{2} = -2 \sin 60^\circ \sin(-20^\circ) = 2 \sin 60^\circ \sin 20^\circ $.
Знаменатель: $ 1 - 2\sin^2 35^\circ = \cos(2 \cdot 35^\circ) = \cos 70^\circ $.
Используя формулу приведения, $ \cos 70^\circ = \cos(90^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ $.
Получаем выражение:
$ \frac{2 \sin 60^\circ \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 2 \sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $.

е) Преобразуем числитель по формуле разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $ и знаменатель по формуле косинуса двойного угла $ \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 $.
Числитель: $ \sin 37^\circ - \sin 53^\circ = 2 \sin\frac{37^\circ - 53^\circ}{2} \cos\frac{37^\circ + 53^\circ}{2} = 2 \sin(-8^\circ) \cos 45^\circ = -2 \sin 8^\circ \cos 45^\circ $.
Знаменатель: $ 2\cos^2 49^\circ - 1 = \cos(2 \cdot 49^\circ) = \cos 98^\circ $.
Используя формулу приведения, $ \cos 98^\circ = \cos(90^\circ + 8^\circ) = -\sin 8^\circ $.
Получаем выражение:
$ \frac{-2 \sin 8^\circ \cos 45^\circ}{-\sin 8^\circ} = 2 \cos 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $.
Ответ: $ \sqrt{2} $.