Номер 740, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 740, страница 212.

Условие.

740. Преобразуйте в произведение выражение:

а) $ \sin 20^\circ + \sin 40^\circ $;

б) $ \sin 55^\circ - \sin(-65^\circ) $;

в) $ \cos 12^\circ + \sin 42^\circ $;

г) $ \cos(-50^\circ) - \sin 20^\circ $;

д) $ \sin 255^\circ - \sin 165^\circ $;

е) $ \cos 315^\circ + \cos 225^\circ $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для преобразования выражения $sin 20^\circ + sin 40^\circ$ используем формулу суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

В нашем случае $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 40^\circ$:

$sin 20^\circ + sin 40^\circ = 2 sin(\frac{20^\circ+40^\circ}{2}) cos(\frac{20^\circ-40^\circ}{2}) = 2 sin(\frac{60^\circ}{2}) cos(\frac{-20^\circ}{2}) = 2 sin(30^\circ) cos(-10^\circ)$.

Используя свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$ и значение $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2 sin(30^\circ) cos(10^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot cos(10^\circ) = cos(10^\circ)$.

Ответ: $cos(10^\circ)$.

б) Сначала упростим выражение, используя свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$:

$sin 55^\circ - sin(-65^\circ) = sin 55^\circ - (-sin 65^\circ) = sin 55^\circ + sin 65^\circ$.

Теперь применяем формулу суммы синусов $sin \alpha + sin \beta = 2 sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$sin 55^\circ + sin 65^\circ = 2 sin(\frac{55^\circ+65^\circ}{2}) cos(\frac{55^\circ-65^\circ}{2}) = 2 sin(\frac{120^\circ}{2}) cos(\frac{-10^\circ}{2}) = 2 sin(60^\circ) cos(-5^\circ)$.

Так как $cos(-5^\circ) = cos(5^\circ)$ и $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos(5^\circ) = \sqrt{3} cos(5^\circ)$.

Ответ: $\sqrt{3} cos(5^\circ)$.

в) В выражении $cos 12^\circ + sin 42^\circ$ приведем функции к одному наименованию, используя формулу приведения $sin \alpha = cos(90^\circ - \alpha)$:

$sin 42^\circ = cos(90^\circ - 42^\circ) = cos(48^\circ)$.

Выражение принимает вид: $cos 12^\circ + cos 48^\circ$.

Применяем формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$cos 12^\circ + cos 48^\circ = 2 cos(\frac{12^\circ+48^\circ}{2}) cos(\frac{12^\circ-48^\circ}{2}) = 2 cos(\frac{60^\circ}{2}) cos(\frac{-36^\circ}{2}) = 2 cos(30^\circ) cos(-18^\circ)$.

Используя $cos(-18^\circ) = cos(18^\circ)$ и $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos(18^\circ) = \sqrt{3} cos(18^\circ)$.

Ответ: $\sqrt{3} cos(18^\circ)$.

г) Сначала упростим выражение, используя свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$:

$cos(-50^\circ) - sin 20^\circ = cos 50^\circ - sin 20^\circ$.

Приведем функции к одному наименованию, используя формулу приведения $sin \alpha = cos(90^\circ - \alpha)$:

$sin 20^\circ = cos(90^\circ - 20^\circ) = cos(70^\circ)$.

Выражение принимает вид: $cos 50^\circ - cos 70^\circ$.

Применяем формулу разности косинусов $cos \alpha - cos \beta = -2 sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$cos 50^\circ - cos 70^\circ = -2 sin(\frac{50^\circ+70^\circ}{2}) sin(\frac{50^\circ-70^\circ}{2}) = -2 sin(\frac{120^\circ}{2}) sin(\frac{-20^\circ}{2}) = -2 sin(60^\circ) sin(-10^\circ)$.

Используя $sin(-10^\circ) = -sin(10^\circ)$ и $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-sin 10^\circ) = \sqrt{3} sin(10^\circ)$.

Ответ: $\sqrt{3} sin(10^\circ)$.

д) Для преобразования выражения $sin 255^\circ - sin 165^\circ$ используем формулу разности синусов: $sin \alpha - sin \beta = 2 sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.

Подставляя $\alpha = 255^\circ$ и $\beta = 165^\circ$, получаем:

$2 sin(\frac{255^\circ-165^\circ}{2}) cos(\frac{255^\circ+165^\circ}{2}) = 2 sin(\frac{90^\circ}{2}) cos(\frac{420^\circ}{2}) = 2 sin(45^\circ) cos(210^\circ)$.

Так как $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(210^\circ) = cos(180^\circ + 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$.

е) Для преобразования выражения $cos 315^\circ + cos 225^\circ$ используем формулу суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

Подставляя $\alpha = 315^\circ$ и $\beta = 225^\circ$, получаем:

$2 cos(\frac{315^\circ+225^\circ}{2}) cos(\frac{315^\circ-225^\circ}{2}) = 2 cos(\frac{540^\circ}{2}) cos(\frac{90^\circ}{2}) = 2 cos(270^\circ) cos(45^\circ)$.

Так как $cos(270^\circ) = 0$, то значение всего произведения равно нулю:

$2 \cdot 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.

Ответ: $0$.