Номер 735, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 735, страница 209.

Условие.

735. Найдите угол $ \alpha $, если $ \alpha \in [0; 2\pi] $ и выполняется условие:

a) $ \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{4}; $

б) $ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2}; $

в) $ \sin^2 \frac{\alpha}{4} - \cos^2 \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{2}; $

г) $ \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = 1. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано уравнение $ \sin\frac{\alpha}{2} \cdot \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{4} $. Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $. Если взять $ x = \frac{\alpha}{2} $, то получим $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $. Из этой формулы следует, что $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\alpha $. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \frac{1}{2}\sin\alpha = \frac{1}{4} $
$ \sin\alpha = \frac{1}{2} $
Теперь найдем все значения $ \alpha $ из интервала $ [0; 2\pi] $, которые удовлетворяют этому уравнению. Такими значениями являются $ \alpha_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ \alpha_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6} $.

б) Дано уравнение $ \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{1}{2} $. Используем ту же формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, из которой $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $. Подставим в уравнение:
$ \frac{1}{2}\sin(2\alpha) = \frac{1}{2} $
$ \sin(2\alpha) = 1 $
Пусть $ t = 2\alpha $. Так как по условию $ \alpha \in [0; 2\pi] $, то $ t \in [0; 4\pi] $. Решим уравнение $ \sin t = 1 $ на интервале $ [0; 4\pi] $. Решениями являются $ t_1 = \frac{\pi}{2} $ и $ t_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} $. Теперь вернемся к $ \alpha $:
$ 2\alpha_1 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha_1 = \frac{\pi}{4} $
$ 2\alpha_2 = \frac{5\pi}{2} \Rightarrow \alpha_2 = \frac{5\pi}{4} $
Оба найденных значения принадлежат заданному интервалу $ [0; 2\pi] $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4} $.

в) Дано уравнение $ \sin^2\frac{\alpha}{4} - \cos^2\frac{\alpha}{4} = \frac{1}{2} $. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $. Левая часть уравнения представляет собой $ -(\cos^2\frac{\alpha}{4} - \sin^2\frac{\alpha}{4}) $, что равно $ -\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = -\cos\frac{\alpha}{2} $. Таким образом, уравнение принимает вид:
$ -\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} $
$ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2} $
Пусть $ t = \frac{\alpha}{2} $. Поскольку $ \alpha \in [0; 2\pi] $, то $ t \in [0; \pi] $. Нам нужно решить уравнение $ \cos t = -\frac{1}{2} $ на отрезке $ [0; \pi] $. Единственным решением на этом отрезке является $ t = \frac{2\pi}{3} $. Выполним обратную замену:
$ \frac{\alpha}{2} = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{4\pi}{3} $.
Данное значение находится в пределах интервала $ [0; 2\pi] $.
Ответ: $ \frac{4\pi}{3} $.

г) Дано уравнение $ \cos^2(2\alpha) - \sin^2(2\alpha) = 1 $. Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $. При $ x = 2\alpha $ левая часть уравнения становится равной $ \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha) $. Уравнение сводится к следующему:
$ \cos(4\alpha) = 1 $
Пусть $ t = 4\alpha $. Учитывая, что $ \alpha \in [0; 2\pi] $, соответствующий интервал для $ t $ будет $ [0; 8\pi] $. Решим уравнение $ \cos t = 1 $ на интервале $ [0; 8\pi] $. Решениями являются значения $ t = 2\pi k $, где $ k $ — целое число. Выберем значения $ t $, попадающие в интервал $ [0; 8\pi] $:
$ t_0 = 0 $ (при k=0)
$ t_1 = 2\pi $ (при k=1)
$ t_2 = 4\pi $ (при k=2)
$ t_3 = 6\pi $ (при k=3)
$ t_4 = 8\pi $ (при k=4)
Теперь найдем соответствующие значения $ \alpha $:
$ 4\alpha_0 = 0 \Rightarrow \alpha_0 = 0 $
$ 4\alpha_1 = 2\pi \Rightarrow \alpha_1 = \frac{\pi}{2} $
$ 4\alpha_2 = 4\pi \Rightarrow \alpha_2 = \pi $
$ 4\alpha_3 = 6\pi \Rightarrow \alpha_3 = \frac{3\pi}{2} $
$ 4\alpha_4 = 8\pi \Rightarrow \alpha_4 = 2\pi $
Все пять значений входят в заданный интервал $ [0; 2\pi] $.
Ответ: $ 0; \frac{\pi}{2}; \pi; \frac{3\pi}{2}; 2\pi $.