Номер 729, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 729, страница 208.

Условие.

729. Упростите выражение:

a) $16\cos 4\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha \sin \alpha$;

б) $(\cos^3\alpha + \sin^3\alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)$;

в) $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \frac{1}{4} \cos 4\alpha$;

г) $\cos^4\alpha - 6\cos^2\alpha \sin^2\alpha + \sin^4\alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $16\cos 4\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha \sin \alpha$ будем последовательно применять формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $.
Сначала сгруппируем множители $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$:
$16\cos 4\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha \sin \alpha = 8\cos 4\alpha \cos 2\alpha (2\sin \alpha \cos \alpha)$
Применяя формулу, получаем $\sin 2\alpha$:
$= 8\cos 4\alpha \cos 2\alpha \sin 2\alpha$
Теперь сгруппируем $\cos 2\alpha$ и $\sin 2\alpha$:
$= 4\cos 4\alpha (2\sin 2\alpha \cos 2\alpha)$
Применяя формулу, получаем $\sin 4\alpha$:
$= 4\cos 4\alpha \sin 4\alpha$
И еще раз применяем ту же формулу:
$= 2(2\sin 4\alpha \cos 4\alpha) = 2\sin(2 \cdot 4\alpha) = 2\sin 8\alpha$
Ответ: $2\sin 8\alpha$

б) В выражении $(\cos^3\alpha + \sin^3\alpha)(\cos \alpha - \sin \alpha)$ раскроем первую скобку, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos^3\alpha + \sin^3\alpha = (\cos\alpha + \sin\alpha)(\cos^2\alpha - \cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha) = (\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)$
Подставим это обратно в исходное выражение:
$(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)(\cos\alpha - \sin\alpha)$
Перегруппируем множители и применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha) = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)$
Выражение $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ является формулой косинуса двойного угла $\cos 2\alpha$.
Таким образом, окончательное выражение:
$\cos 2\alpha(1 - \sin\alpha\cos\alpha)$
Ответ: $\cos 2\alpha(1 - \sin\alpha\cos\alpha)$

в) Рассмотрим выражение $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \frac{1}{4}\cos 4\alpha$.
Преобразуем сумму $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, выделив полный квадрат:
$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$
Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$= 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$
Теперь преобразуем $2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ :
$2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{1}{2}(4\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = \frac{1}{2}(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)$
Итак, $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)$.
Подставим это в исходное выражение:
$1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha) - \frac{1}{4}\cos 4\alpha$
Используем формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $\sin^2(2\alpha) = \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}$:
$= 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}\right) - \frac{1}{4}\cos 4\alpha = 1 - \frac{1 - \cos(4\alpha)}{4} - \frac{1}{4}\cos 4\alpha$
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$= 1 - \frac{1}{4} + \frac{\cos 4\alpha}{4} - \frac{\cos 4\alpha}{4} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

г) Для упрощения выражения $\cos^4\alpha - 6\cos^2\alpha \sin^2\alpha + \sin^4\alpha$ представим средний член $-6\cos^2\alpha\sin^2\alpha$ в виде суммы $-2\cos^2\alpha\sin^2\alpha - 4\cos^2\alpha\sin^2\alpha$ :
$\cos^4\alpha - 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha - 4\cos^2\alpha\sin^2\alpha$
Первые три члена образуют полный квадрат разности:
$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)^2 - 4\cos^2\alpha\sin^2\alpha$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ к первому члену и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ ко второму члену:
$(\cos 2\alpha)^2 - (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \cos^2(2\alpha) - (\sin 2\alpha)^2 = \cos^2(2\alpha) - \sin^2(2\alpha)$
Полученное выражение снова является формулой косинуса двойного угла, но для угла $2\alpha$ :
$\cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$
Ответ: $\cos 4\alpha$