Номер 730, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 730, страница 208.

Условие.

730. Докажите неравенство:

а) $ \sin \alpha \cos \alpha \le \frac{1}{2} $, если $ \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) $;

б) $ \sin 4\alpha < 2\cos 2\alpha $, если $ 2\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $;

в) $ \sin 3\alpha < 2\sin 1.5\alpha $, если $ \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Требуется доказать неравенство $ \sin \alpha \cos \alpha \le \frac{1}{2} $ при $ \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. Из этой формулы можно выразить произведение $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha) $.

Подставим это выражение в исходное неравенство, получим:

$ \frac{1}{2} \sin(2\alpha) \le \frac{1}{2} $

Умножив обе части неравенства на 2, приходим к неравенству:

$ \sin(2\alpha) \le 1 $

Данное неравенство является верным для любого действительного значения $ \alpha $, так как область значений функции синус — это отрезок $ [-1; 1] $. Следовательно, значение $ \sin(2\alpha) $ никогда не может быть больше 1. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Требуется доказать неравенство $ \sin 4\alpha < 2\cos 2\alpha $ при $ 2\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $.

Применим формулу синуса двойного угла для левой части неравенства, рассматривая $ 2\alpha $ как аргумент: $ \sin 4\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha $. Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$ 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha < 2\cos 2\alpha $

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $ 2\cos 2\alpha $ за скобки:
$ 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha - 2\cos 2\alpha < 0 $
$ 2\cos 2\alpha (\sin 2\alpha - 1) < 0 $.

Проанализируем знаки множителей в левой части, исходя из условия $ 2\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. Во-первых, в интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $ косинус положителен, поэтому $ \cos 2\alpha > 0 $. Во-вторых, значение синуса любого угла не превышает 1, то есть $ \sin 2\alpha \le 1 $. Равенство $ \sin 2\alpha = 1 $ возможно при $ 2\alpha = \frac{\pi}{2} $. Однако, по условию $ 2\alpha $ принадлежит открытому интервалу $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, поэтому $ 2\alpha \ne \frac{\pi}{2} $. Отсюда следует, что $ \sin 2\alpha < 1 $, а значит разность $ \sin 2\alpha - 1 $ всегда отрицательна.

Таким образом, левая часть неравенства $ 2\cos 2\alpha (\sin 2\alpha - 1) $ является произведением положительного множителя ($ 2\cos 2\alpha $) и отрицательного множителя ($ \sin 2\alpha - 1 $). Такое произведение всегда отрицательно. Следовательно, неравенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Требуется доказать неравенство $ \sin 3\alpha < 2\sin 1.5\alpha $ при $ \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) $.

Представим $ 3\alpha $ как $ 2 \cdot (1.5\alpha) $ и применим формулу синуса двойного угла: $ \sin 3\alpha = \sin(2 \cdot 1.5\alpha) = 2 \sin 1.5\alpha \cos 1.5\alpha $. Подставим это выражение в исходное неравенство:

$ 2 \sin 1.5\alpha \cos 1.5\alpha < 2\sin 1.5\alpha $.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $ 2\sin 1.5\alpha $ за скобки:
$ 2 \sin 1.5\alpha \cos 1.5\alpha - 2\sin 1.5\alpha < 0 $
$ 2\sin 1.5\alpha (\cos 1.5\alpha - 1) < 0 $.

Проанализируем знаки множителей, исходя из условия $ \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) $. Для аргумента $ 1.5\alpha $ имеем: $ 1.5\alpha \in (0; 1.5 \cdot \frac{\pi}{2}) $, то есть $ 1.5\alpha \in (0; \frac{3\pi}{4}) $. Во-первых, в интервале $ (0; \frac{3\pi}{4}) $ (первая и вторая координатные четверти) синус положителен, поэтому $ \sin 1.5\alpha > 0 $. Во-вторых, значение косинуса любого угла не превышает 1, то есть $ \cos 1.5\alpha \le 1 $. Равенство $ \cos 1.5\alpha = 1 $ возможно при $ 1.5\alpha = 2k\pi $, $ k \in \mathbb{Z} $. Однако, по условию $ 1.5\alpha \in (0; \frac{3\pi}{4}) $, поэтому $ 1.5\alpha \ne 2k\pi $. Отсюда следует, что $ \cos 1.5\alpha < 1 $, а значит разность $ \cos 1.5\alpha - 1 $ всегда отрицательна.

Таким образом, левая часть неравенства $ 2\sin 1.5\alpha (\cos 1.5\alpha - 1) $ является произведением положительного множителя ($ 2\sin 1.5\alpha $) и отрицательного множителя ($ \cos 1.5\alpha - 1 $). Такое произведение всегда отрицательно. Следовательно, неравенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.