Номер 724, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 724, страница 207.

Условие.

724. Найдите $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $ и $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $, если:

а) $ \cos \alpha = \frac{3}{4} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $;

Б) $ \sin \alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

В) $ \operatorname{tg} \alpha = -\frac{7}{24} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано: $ \cos \alpha = \frac{3}{4} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Разделив неравенство для $ \alpha $ на 2, получаем: $ \frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi $. Это означает, что угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен ($ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны ($ \cos\frac{\alpha}{2} < 0 $, $ \tg\frac{\alpha}{2} < 0 $, $ \ctg\frac{\alpha}{2} < 0 $).

Воспользуемся формулами половинного угла:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $. Так как $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $, то $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8} $. Так как $ \cos\frac{\alpha}{2} < 0 $, то $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{7}{8}} = -\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{14}}{4} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{14}}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = -\frac{1}{\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{7}}{7} $.

$ \ctg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{7}}{7}} = -\sqrt{7} $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{14}}{4} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{7} $, $ \ctg\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{7} $.

б) Дано: $ \sin \alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Разделив неравенство для $ \alpha $ на 2, получаем: $ \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4} $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во второй четверти. Следовательно, $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $, $ \cos\frac{\alpha}{2} < 0 $, $ \tg\frac{\alpha}{2} < 0 $, $ \ctg\frac{\alpha}{2} < 0 $.

Для использования формул половинного угла нам нужен $ \cos\alpha $. Найдем его из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} $.

Поскольку $ \alpha $ находится в третьей четверти ($ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $), $ \cos\alpha $ отрицателен. Значит, $ \cos\alpha = -\frac{3}{5} $.

Теперь применяем формулы половинного угла:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5} $. Так как $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $, то $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5} $. Так как $ \cos\frac{\alpha}{2} < 0 $, то $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = -2 $.

$ \ctg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = -2 $, $ \ctg\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2} $.

в) Дано: $ \tg \alpha = -\frac{7}{24} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Определим четверть для угла $ \frac{\alpha}{2} $. Разделив неравенство для $ \alpha $ на 2, получаем: $ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в первой четверти. В первой четверти все тригонометрические функции положительны: $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $, $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $, $ \tg\frac{\alpha}{2} > 0 $, $ \ctg\frac{\alpha}{2} > 0 $.

Найдем $ \cos\alpha $, используя тождество $ 1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.

$ \cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-\frac{7}{24})^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{625}{576}} = \frac{576}{625} $.

Поскольку $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $), $ \cos\alpha $ отрицателен. Значит, $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25} $.

Теперь применяем формулы половинного угла:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{24}{25})}{2} = \frac{1 + \frac{24}{25}}{2} = \frac{\frac{49}{25}}{2} = \frac{49}{50} $. Так как $ \sin\frac{\alpha}{2} > 0 $, то $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10} $.

$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{24}{25})}{2} = \frac{1 - \frac{24}{25}}{2} = \frac{\frac{1}{25}}{2} = \frac{1}{50} $. Так как $ \cos\frac{\alpha}{2} > 0 $, то $ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.

$ \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{10}} = 7 $.

$ \ctg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{7} $.

Ответ: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{10} $, $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10} $, $ \tg\frac{\alpha}{2} = 7 $, $ \ctg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{7} $.